Bài 11 trang 93 sách giáo khoa Hình học 12

 Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxz và cắt hai đường thẳng:

Hướng dẫn giải

Cách 1:

    Giả sử đường thẳng ∆ cắt đường thẳng d tại M và cắt d’ tại N.

Ta có: M(t; -4 +1; 3 – t) và N(1 – 2t’; -3 + t’; 4 – 5t’).

Khi đó ∆ có vectơ chỉ phương = (1 – 2t’ -t ; 1 + t’ – t; 1 – 5t’ + t). ∆ vuông góc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0.

Mặt khác (0; 1; 0) ⊥ (Oxz) nên n là một vectơ chỉ phương của ∆.

Vì ∆ cắt d qua điểm M1(0; -4; 3) và có vectơ chỉ phương = (1; 1; -1) nên ∆ nằm trong mặt phẳng (P1) đi qua M1 và vuông góc với vectơ = [latex \overrightarrow{u} $ $] = (1;0; 1). 

Cách 2:

    Vì đường thẳng ∆ song song với Oy (do vuông góc với mặt phẳng (Oxz) nên ∆ có vectơ chỉ phương = (0; 1; 0). Phương trình tham số của ∆ có dạng:

Phương trình mặt phẳng (P1) có dạng: x + z – 3 = 0                               (1)

Tương tự, vì ∆ cắt d’ mà d’ qua M2(1; -3; 4) và có vectơ chỉ phương  = (-2; 1; -5) nên ∆ nằm trong mặt phẳng (P₂) qua M₂ và vuông góc với = [, ] = (5; 0; -2).

Phương trình mặt phẳng (P₂) có dạng: 5x – 2z + 3 = 0                         (2)

Do vậy nên ∆ = (P1) ∩ (P₂), và các toạ độ của ∆ thoả mãn hệ phương trình sau: 

Thay z = 3 – x từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta có:

5x – 2(3 – x) + 3 = 0 <=>x = 3/7.

Vì ∆ có vectơ chỉ phương = (0; 1; 0) nên ta có phương trình của ∆ là: