Hướng dẫn giải bài 1 trang 91 sách giáo khoa Hình học 12

 Bài 1 trang 91 sách giáo khoa Hình học 12

Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1)

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.

Hướng dẫn giải

a) Ta chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Cách 1:

       Vì A, B, C lần lượt nằm trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz và khác gốc toạ độ, nên chúng không thẳng hàng. Mặt phẳng (ABC) có phương trình dạng:

              x + y + z – 1 = 0.

       Thay toạ độ của điếm D thấy nó không thoả mãn nên D không thuộc mặt phẳng (ABC). Do đó bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng và ABCD là một tứ diện.

Cách 2:

Xét ba vectơ sau:

= (-1; 1; 0) ,  = (-1; 0; 1),  = (-3; 1; -1).

 Vì [, ] = (1; 1; 1) <=> [, ]. = -3 ≠ 0 nên ba vectơ AB, AC, AD không đồng phẳng.

Do đó bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Vậy ABCD là một tứ diện.

         b) Trong hình học không gian lớp 11, ta đã biết góc giữa hai đường thẳng trong không gian thì bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nếu góc này nhỏ hơn hoặc bằng 90°, và bằng góc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương nếu góc này lớn hơn 90°. Do đó, ta sẽ tính góc giữa hai vectơ chỉ phương của AB và CD.

A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) => = (-1; 1; 0)

C(0; 0; 1), D( – 2; 1; -1) => = (-2; 1; – 2)

Ta có:

Trong đó:

        Do góc giữa hai vectơ chỉ phương ,  của hai đường thẳng AB, CD là góc nhọn nên góc này cũng là góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Vậy, góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 45°.

c) Đường cao hình chóp A.BCD kẻ từ B đỉnh A chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

      Ta có: = (-2; 1; -2), = (0; -1; -1).

      Vậy vectơ = [, ] = (1; – 2; – 2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD).

      Mặt phẳng (BCD) có phương trình dạng: x – 2y – 2z + 2 = 0.

Điểm A có toạ độ A(1; 0; 0). Ta có: