Giải bài tập Toán 9 tập 1 – Hình học – Ôn tập chương II

Giải toán 9 hình học ôn tập chương 2

Bài 41 (tr. 128 SGK) Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.

Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.

a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O); (K) và(O); (I) và (K).

b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh đẳng thức $AE.AB=AF.A\mathrm{C.}$

d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường trong (I) và (K)

e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

Hướng dẫn:

a) Áp dụng tính chất: Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền để tìm I và K.

So sánh khoảng cách giữa hai tâm và tổng bán kính hoặc hiệu bán kính.

b) Chứng minh tứ giác AEHF có 3 góc vuông => tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

c) 

∆ABH vuông tại H, HE là đường cao nên $=AE.AB$

∆ACH vuông tại H, HF là đường cao nên $=AF.A\mathrm{C.}$

d) Gọi M là giao điểm của AH và EF 

Chứng minh ΔMEI = ΔMHI (c.c.c)

=> EF là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Tương tự EF là tiếp tuyến của đường tròn (K).

e) EF = AD => EF lớn nhất khi AD lớn nhất => H ≡ O.

Giải:

a) ΔHBE vuông tại E nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của BH.

Tương tự, tâm K của đường tròn ngoại tiếp ΔHCF là trung điểm của HC.

Ta có: OI = OB – IB suy ra đường tròn (O) và đường tròn (I) tiếp xúc trong.

Chứng minh tương tự, đường tròn (O) và đường tròn (K) tiếp xúc trong.

Ta có: IK = IH + HK suy ra hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc ngoài.

b) Ta có: = 90° (BC là đương kính và A thuộc đường tròn).

= 90°; = 90° (gt)

Vậy tứ giác AEHF là hình chữ nhật (có 3 góc vuông).

c)

∆ABH vuông tại H, HE là đường cao nên  $=AE.AB$

∆ACH vuông tại H, HF là đường cao nên  $=AF.AC$

Do đó $AE.AB=AF.AC$

d) Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AH và EF => ME = MH

=> ΔMEI = ΔMHI (c.c.c) => = = 90°

=> IE ⊥ EF

Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Chứng minh tương tự ta được EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)

Vậy EF là tiếp tuyến chung của hái đường tròn (I) và (K).

e) Ta có EF = AH = AD (đường kính vuông góc với một dây thì chia đôi dây ấy).

Do đó EF lớn nhất <=> AD lớn nhất <=> AD là đường kính <=> H trùng với O.

Vậy khi H trùng với O thì EF có độ dài lớn nhất.

Bài 42 (tr. 128 SGK) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO’

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.

Hướng dẫn:

a) Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta chứng minh được tứ giác AEMF có 3 góc vuông => tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) Áp dụng hệ thức = a.c’ và  = a.b’ để chứng minh ME.MO =  và MF.MO =  => ME.MO = MF.MO.

c) Đường tròn đường kính BC đi qua A.

=> OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.   

d) Gọi I là trung điểm của OO’.

=> I là tâm của đường tròn đường kính OO’.

Chứng minh = 90° => đường tròn đường kính BC đi qua M.

Chứng minh tứ giác OBCO’ là hình thang => IM ⊥ BC (IM là đường trung bình của hình thang).

Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.

Giải:

a) MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau => ME ⊥ AB => = 90°.

MA, MC là hai tiếp tuyến cắt nhau => MF ⊥ AC => = 90°. Mặt khác MO và MO’ theo thứ tự là tia phân giác của các góc và (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau).

=> MO ⊥ MO’ (hai tia phân giác của hai góc kề bù) => = 90°.

Vậy tứ giác AEMF là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông.

b) Xét AAOM vuông tại A có AE ⊥ OM có ME.MO =  

Tương tự ta có MF.MO’ = .

Suy ra ME.MO = MF.MO

c) Ta có MA = MB = MC => đường tròn đường kính BC đi qua A.

Mặt khác OO’ ⊥ MA (tính chất tiếp tuyến) => OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

d) Gọi I là trung điểm của OO’

=> I là tâm đường tròn đường kính OO’.

Ta có AMOO’ vuông tại M nên đường tròn đường kính OO’ đi qua M. 

Ta có OB ⊥ BC và O’C ⊥ BC (tính chất tiếp tuyến)

=> OB // O’C

=> Tứ giác BCO’O là hình thang => IM // OB (IM là đường trung bình của hình thang)

=> IM ⊥ BC.

Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’.

Bài 43 (tr. 128 GK) Cho hai đường tròn(O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và $B(R>r).$ Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt cá đường tròn tâm (O; R) và (O’; r) theo thứ tự tại C và D (khác A).

a) Chứng minh rằng AC = AD.

b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB

Hướng dẫn:

a) Vẽ OE ⊥ AC và O’F ⊥ AD

Chứng minh IA là đường.trung bình của hình thang EFO’O => AE = AF => AC = AD.

b) Gọi H là giao điểm của AB và OO’

Áp dụng tính chất hai đường tròn cắt nhau =>AB ⊥ OO’ và HA = HB.

=> IH là đường trung bình của tam giác ABK => KB // OO’

Vậy KB ⊥  AB.

Giải:

a) Vẽ OE ⊥ AC và O’F ⊥AD

=> OE // O’F // IA (cùng vuông góc vối CD).

=> IA là đường trung bình của hình thang EFO’O (I là trung điểm của OO’) => AE = AF.

Mặt khác AE = AC và AF = AD (đường kính vuông góc với một dây thì chia đôi dây ấy).

Vậy AC = AD.

b) Gọi H là giao điểm của AB và OO’.

Theo tính chất của hai đường tròn cắt nhau ta có AB ⊥ OO’ và HA = HB

Mặt khác IA = IK (gt)

Suy ra IH là đưòng trung bình của tam giác ABK => IH // KB hay KB // OO’

Vậy KB ⊥ AB.

BÀI 1. CĂN BẬC HAI – Giải bài tập toán 9 tập 1 tại đây