Vectơ trong không gian – Giải bài tập sách giáo khoa Toán 11

Vectơ trong không gian

 

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa

     Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

     Kí hiệu chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là , , , ,…

2. Các quy tắc về vectơ trong không gian

     Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian

     Phép cộng và phép trừ hai vectơ trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai vectơ trong mặt phẳng. Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất giống như phép cộng, vectơ trong mặt phẳng. Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng các quy tắc về vectơ như trong hình học phẳng.

– Quy tắc ba điểm:  –  + . Hoặc  =  – .

– Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD:  =  + .

– Quy tắc trung tuyến: AM là đường trung tuyến của tam giác ABC thì:

 = ( + ).

– Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm của tam giác ABC thì:

+  +  = 0.

– Quy tắc hình hộp:

Nếu hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA’ và có đường chéo là AC’ thì khi đó ta có quy tắc hình hộp như sau:

                    +  +  = .

     Phép nhân vectơ với một số

     Trong không gian, tích của vectơ với một số k ≠ 0 là vectơ k được định nghĩa tương tự như trong hình học phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã được xét trong hình học phẳng.

3. Sự đồng phang cua các vectơ, điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

     Định nghĩa

     Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

     Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

– Định lí 1:

     Trong không gian, cho hai vectơ ,  không cùng phương và vectơ . Khi đó ba vectơ , ,  đồng phẳng khi và chi khi có cặp số m, n sao cho  = m + n. Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.

– Định lí 2:

     Trong không gian, cho ba vectơ không đồng phẳng , , . Khi đó với mọi vectơ ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho = m + n + p. Ngoài ra bộ ba số m, n, p đó là duy nhất.

B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK)

 Bài 1 trang 91 sách giáo khoa Hình học 11

a) Những vectơ cùng hướng với  là:

 , , , , ,  và .

b) Những vectơ cùng hướng với  là:

,  và .

c) Những vectơ ngược hướng với  là:

 , ,  và .

Bài 2 trang 91 sách giáo khoa Hình học 11

a) Theo quy tắc hình hộp, ta có:

Cách 1 :

+  +  =  +  +  = .

Cách 2:

+  +  =  +  +  = .

b) Ta có:

–  –  =  +  +  = .

c) Ta có:

+  +  +  = +  +  +  =  = .

Bài 3 trang 91 sách giáo khoa Hình học 11

Cách I :

Lấy I là tâm cua hình bình hành ABCD.

Khi đó:

+  = 2;  +  = 2 =>  +  =  + 

Cách 2:

+ = ( + ) + ( + )

= + + ( + DC) = + .

Bài 4 trang 92 sách giáo khoa Hình học 11

a) Ta có:

  =  +  + 

= +  + 

=> 2 = ( + ) +( + ) + ( + ) =  + 

Suy ra  = ( + )

 b) Tương tự câu a)

  =  + + 

=  +  + 

=> 2 =  +

Suy ra = ( + ) 

Bài 5 trang 92 sách giáo khoa Hình học 11

a) Gọi G là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABGC.

Ta có: = +  + .

Mặt khác ( + ) = .

 =>  =  + .

Vậy = + khi E là đỉnh thứ tư của hình bình hành ADEG.

b) Ta có: = ( + ) – .

Mặt khác ( + ) = .

=> =  + = .

Vậy = – = khi F là đỉnh thứ tư của hình bình hành ADGF.

Bài 6 trang 92 sách giáo khoa Hình học 11

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên  +  +  = .

Ta có:

+  + 

= ( + ) + ( + ) + ( + )

= 3 + ( + + ) = 3.

Bài 7 trang 92 sách giáo khoa Hình học 11

a) Ta có:  +  = 2 và  +  = 2.

=> ( +) + ( + ) = 2( + ).

Mà + = 0.

Suy ra + + + = .

b) Với điểm P bất kì trong không gian ta có:

  +  = ; 

  +  = ; 

  +  = ; 

  +  = .

Cộng các vế lại ta có:

+ + +  + ( + + + ) =4

<=>+  +  +  -( + + + ) = 4

<=>  +  +  +  = 4 (vì +  +  + = theo câu a)

<=>  = ( + + + ).

  Bài 8 trang 92 sách giáo khoa Hình học 11

Ta có:

=  – 

=  – ( + ).

<=>  =  –  –  .

=  – 

= ( + ) –  .

<=>  =  +  –  .

Bài 9 trang 92 sách giáo khoa Hình học 11

Ta có:

  +  +  =                 (1)

+  +  = 

=> 2 + 2 + 2 = 2              (2)

Cộng (1) với (2) ta có:

( + 2 ) +  +2 + ( + 2) = 3

<=>  +  + 2 +  = 3 

<=>  + 2 = 3

<=>    = +  .

Vì thế ba vectơ  ,  và  đồng phẳng.

Bài 10 trang 92 sách giáo khoa Hình học 11

Vì KI // EF // AB nên KI // mp (ABC).

Ta có: FG // BC và AC ⊂ mp (ABC).

Mặt phẳng (α) là một mặt phẳng song song với mp (ABC).

Khi đó ba vectơ KI, FG và AC có giá cùng song song với mặt phẳng (α).

Vậy ba vectơ KI, FG và AC đồng phẳng.