Dạng tổng hợp toán hay và khó lớp 5
ĐỀ 1
ĐÁP ÁN
Bài 1. Xét dãy số: 1 ; 2; 3; 4; … ; 30.
– Từ 1 đến 9 có: (9 – 1) : 1 + 1 = 9 (số có một chữ số)
– Từ 10 đến 30 có: (30 – 10) : 1 + 1 = 21 (số có hai chữ số)
Vậy: Số trừ số của dãy số từ 1 đến 30 là: 9 x 1 + 21 x 2 = 51 (chữ số)
Suy ra:
– Để viết các ngày trong một thánii cổ 30 ngày thì cần 51 chừ số.
– Để viết các ngày trong một tháng có 31 ngày thì cần 53 chữ số.
– Để viết các ngày trong một tháng có 28 ngày thì cần 47 chữ số.
Số chữ số dùng để viết các ngày trên tờ lịch của năm 2015 là:
7 x 53 + 4 x 51 + 1 x 47 = 622 (chữ số)
Đáp số: 622 chữ số.
Bài 2.
Số lớn hơn số trung bình cộng của dãy số trên 8 đơn vị là: 56 + 8 = 64
Ta thấy, số hạng thứ n của dãy số có dạng tổng quát là: an = n x 2 + 12 với n là số tự nhiên thoả mãn n ≥ 1.
Số 64 là số hạng thứ n thoả mãn: n x 2 + 12 = 64
Vậy, n = 26.
Bài 3. Xét dãy số chẵn liên tiếp: 2, 4, 6, 8, 10, …,2018, 2020.
a) – Từ 2 đến 8 có 4 số.
– Từ 10 đến 98 có (98 – 10) : 2 + 1 = 45 (số)
– Từ 100 đến 998 có (998 – 100) : 2 + 1 = 450 (số)
– Từ 1000 đến 2020 có (2020 – 1000) : 2 + 1 = 511 (số)
Vậy, dãy số có: 1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 511 = 3488 (chữ số)
b) – Từ 2 đen 8 có 4 số và có 4 chữ số.
– Từ 10 đến 98 có 45 số và có 45 x 2 = 90 (chữ số).
– Từ 100 đén 998 có 450 số và có 450 x 3 = 1350 (chữ số)
Vậy, còn lại 2015 – (4 + 90 + 1350) = 571 (chữ số)
Các số từ 1000 đến 2020 gồm 4 chữ số và 571 = 142 x 4 + 3 nên chữ số thứ 2015 của dãy là chữ số thứ 3 của số có 4 chữ số thứ 143 của dãy.
Số chẵn có 4 chữ số thứ 142 là: 1000 + (142 – 1) x 2 = 1282 Vậy chữ số thứ 2015 của dãy đã cho là chữ số 8 của số 1282.
Bài 4. Xét số hạng tổng quát thứ n của tổng là n x (n + 1) vói n là số tự nhiên khác 0.
Ta thấy: (n + 2) – (n – 1) = n + 2 – n + 1 = 3 nên:
Ta có:
Bài 5. Xét số hạng tổng quát thứ n của tổng là n x (n + 1) X ( n + 2) với n là số tự nhiên khác 0.
Ta thấy: (n + 3) – (n – 1) = n + 3 – n + 1 = 4 nên:
Ta có:
Bài 6. Gọi số cần tìm là a (a là số tự nhiên khác 0, nhỏ nhất thoả mãn yêu cầu bài toán).
Ta có: a chia cho 3 được số dư là 1 nên a + 2 chia hết cho 3.
a chia cho 4 được số dư là 2 nên a + 2 chia hốt cho 4.
a chia cho 5 được số dư là 3 nên a + 2 chia hết cho 5.
a chia cho 6 được số dư là 4 nên a + 2 chia hết cho 6.
Suy ra, a + 2 chia hết cho cả 3, 4, 5 và 6.
Số tự nhiên chia hết cho 5 nên có tận cùng là 5 hoặc 0.
Số tự nhiên nhỏ nhất, khác không chia hết cho 3, cho 4, cho 5 và cho 6 là 60.
Vậy: a + 2 = 60
a = 60 – 2 = 58
Bài 7. Khi xé một mảnh thành 4 mảnh nhỏ hơn thì số mảnh tăng thêm là:
4 – 1 =3.
Sau mỗi đợt xé số mảnh tăng thêm là một số chia hết cho 3.
Lúc đầu trên bàn có 3 mảnh, vậy sau mồi đợt xé thì số mảnh trôn bàn luôn là một số chia hết cho 3.
Ta thấy 2015 không chia hết cho 3.
Vậy không có sau đợt xổ nào mà trên bàn có 2015 mảnh giấy lớn nhỏ.
Bài 8. Sau khi lấy ra một hộp, số bi còn lại ở 4 hộp có số bi xanh nhiều gấp 3 lần bi đỏ nên tổng số bi còn lại là số chia hết cho 4.
Ta thấy, tổng số bi của 5 hộp là: 29 + 31 + 32 + 35.+ 37 = 164.
Vì 164 chia hết cho 4 nên hộp được lấy ra có số viên bi là số chia hết cho 4.
Trong 5 hộp chỉ có hộp 3 có số viên bi chia hết cho 4 nên hộp 3 là hộp được lấy ra.
Đáp số: Hộp số 3.
Bài 9. Ta đánh số thứ tự các giỏ đựng 65kg; 71kg; 58kg; 72kg và 93kg lần lượt là 1; 2; 3; 4 và 5.
Tổng số cam và xoài là: 65 + 714 – 58 + 72 + 93 = 359 (kg)
Nhận xét: 359 chia cho 4 được thương là 89 và dư 3.
65 chia cho 4 được thương là 16 và dư 1.
71 chia cho 4 được thương là 17 và dư 3.
58 chia cho 4 được thương là 14 và dư 2.
72 chia cho 4 được thương là 18 và dư 0.
93 chia cho 4 được thương là 23 và dư 1.
Sau khi bán một giỏ thì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số ki-lô-gam xoài và cam ở 4 giỏ còn lại phải là một số chia hết cho 4. Như vậy, giỏ đựng cam đã được bán phải là giỏ có số ki-lô-gam chia cho 4 được số dư là 3.
Trong các giỏ đã đánh số thì chỉ có giỏ thứ 2 thoả mãn vì 71 = 17 x 4 + 3
Vậy, giỏ thứ hai đựng cam và đã được bán.
Các giỏ còn lại là 1; 3; 4 và 5.
Tổng số ki-lô-gam xoài và cam trong 4 giỏ còn lại là:
359 – 71 = 288 (kg)
Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên ta có sơ đồ:
Số ki-lô-gam xoài là:
288 : (3 + 1) x 3 = 216 (kg)
Số ki-lô-gam cam còn lại là:
288-216 = 72 (kg)
Vậy, trong 4 giỏ còn lại thì giỏ số 4 đựng cam và các giỏ đựng xoài là 1; 3 và 5.
Đáp số: Các giỏ đựng cam: 71kg và 72kg.
Các giỏ đựng xoài: 65kg, 58kg và 93kg.
Cách khác:
Ta đánh số thứ tự các giỏ đựng 65kg; 71kg; 58kg; 72kg và 93kg lần lượt là 1; 2; 3; 4 và 5.
Tổng số cam và xoài là: 65 + 71 + 58 + 72 + 93 = 359 (kg)
Sau khi bán một giỏ thì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số ki-lô-gam xoài và cam ở 4 giỏ còn lại phải là một số chia hết cho 4.
Lần lượt thử các trường hợp giỏ cam đã bán là các giỏ được đánh số theo thứ tự trên, ta có:
– Nếu giỏ 1 đã bán thì tổng số ki-lô-gam cam và xoài trong 4 giỏ còn lại là: 359 – 65 = 294. Vì 294 không chia hết cho 4 nên trường họp này bị loại.
– Nếu giỏ 2 đã bán thì tong số ki-lô-gam cam và xoài trong 4 giỏ còn lại là: 359 – 71 = 288. Vì 288 chia hết cho 4 nên trường họp này được tiếp tục xét. Ta có:
Số ki-lô-gam cam trong 4 giỏ còn lại là: 288 : (3 + 1) x 1 = 72 (kg)
Số ki-lô-gam xoài trong 4 giỏ còn lại là: 288 – 72 = 216 (kg)
Vậy, các giỏ đựng cam là: 71 kg và 72kg, các giỏ còn lại đựng xoài.
– Nếu giỏ 3 đã bán thì tổng số ki-lô-gam cam và xoài trong 4 giỏ còn lại là: 359 – 58 = 301.
Vì 301 không chia hết cho 4 nên trường hợp này bị loại.
– Nếu giỏ 4 đã bán thì tống số ki-lô-gam cam và xoài trong 4 giỏ còn lại là: 359 – 72 = 287.
Vì 287 không chia hết cho 4 nên trường hợp này bị loại.
– Nếu giỏ 5 đã bán thì tổng số ki-lô-gam cam và xoài trong 4 giỏ còn lại là: 359 – 93 = 266.
Vì 266 không chia hết cho 4 nôn trường hợp này bị loại.
Bài 10. Theo bài ra, nếu bạn học sinh nào đó giải sai từ 4 câu trở lên sẽ bị 0 điểm.
Lập bảng xét các khả năng sau:
Như vậy chỉ có 5 mức điểm trong khi có 6 bạn học sinh nên phải có ít nhất 2 người có số điểm bằng nhau.
Bài 11. * Cách 1:
Gọi số bàn ghế là a; số học sinh là b.
Nếu xếp 3 học sinh ngồi vào một bộ bàn ghế thì còn thừa 4 em, ta có:
a x 3 + 4 = b (1)
Nếu xếp 5 học sinh ngồi vào một bộ bàn ghế thì thừa 4 bộ bàn ghế, ta có:
b : 5 = a – 4 hay b = 5 x (a – 4) (2)
Từ (1) và (2), ta có: a x 3 + 4 = 5 x (a – 4)
a x 3 + 4 = 5 x a – 20
a x 3 + 4 = a x (3 + 2) – 20
a x 3 + 4 = a x 3 + a x 2 – 20
4 = a x 2 – 20
a x 2 = 4 + 20
a x 2 = 24
a = 24 : 2 = 12
Thay a = 12 vào (1), suy ra: b = 12 x 3 + 4 = 40
Vậy, lớp học đó có 12 bộ bàn ghế và 40 học sinh.
* Cách 2:
Nếu xếp 3 em vào 1 bàn thì còn thừa 4 em nên giả sử số bàn được gấp lên 3 lần để mỗi học sinh ngồi 1 bàn thì vẫn còn 4 em không có chỗ ngồi. Nếu xếp 5 em vào 1 bàn thì còn thừa 4 bàn nên giả sử số bàn được gấp lên 5 lần để mỗi em ngồi một bàn thì còn thừa 20 bàn, hay còn thiếu 20 học sinh để ngồi đủ số bàn và mỗi em ngồi 1 bàn.
Như vậy 2 lần số bàn bằng: 20 + 4 = 24
Số bàn của lớp là: 24 : 2 = 12 (bộ bàn ghế)
Số học sinh của lớp là: 12 x 3 + 4 = 40 (học sinh)
Đáp số: 12 bộ bàn ghế; 40 học sinh.
Bài 12. Xem cách giải Bài 11.
Đáp số: 8 bộ bạn ghế; 28 học sinh.
Bài 13. Vì bạn Lan cài nơ màu xanh nên bạn Mai không thể mặc áo màu xanh và cài nơ màu xanh, suy ra bạn Mai chỉ có thế mặc áo màu trắng hoặc màu vàng.
Nếu Mai mặc áo màu vàng và cài nơ màu vàng thì Lan không mặc áo màu vàng. Lan cũng không mặc áo màu xanh (vì cùng với màu nơ xanh). Vậy, Lan mặc áo màu trắng, khi đó Hương mặc áo màu xanh và cài nơ màu trắng (mâu thuẫn với giả thiết).
Nếu Mai mặc áo màu trắng và cài nơ màu trắng thì Lan không mặc áo màu trắng. Lan cũng không mặc áo màu xanh (vì cùng với màu nơ màu xanh). Vậy, Lan mặc áo màu vàng, khi đó Hương mặc áo màu xanh và cài nơ vàng (thoả mãn cả ba điều kiện a, b, c của bài toán).
Bài 14. Lấy ở thùng dầu cho đầy can 8 lít rồi lấy can 8 lít đổ sang cho đầy can 5 lít. Như vậy, trong thùng còn 4 lít dầu và trong can 8 lít có 3 lít dầu, trong can 5 lít có 5 lít dâu.
Đổ hết dầu ở can 5 lít vào thùng rồi cho 3 lít dầu ở can 8 lít sang can 5 lít. Như vậy, trong thùng có 9 lít dầu và trong can 5 lít có 3 lít dầu, trong can 8 lít có 0 lít dầu.
Đổ dầu ở thùng đầy can 8 lít rồi từ can 8 lít đổ sang đầy can 5 lít. Như vậy, trong thùng còn 1 lít dầu, trong can 8 lít có 6 lít dầu và trong can 5 lít có 5 lít dầu.
Đổ hết dầu ở can 5 lít vào thùng. Khi đó trong thùng có 6 lít dầu và trong can 8 lít có 6 lít dầu. Ta đã chia dược số dầu thành 2 phần bằng nhau.
Bài 15. Vì 1 bước của Thỏ bằng 8 bước của Rùa nên 80 bước của Rùa bằng 10 bước của Thỏ.
Khi Rùa chạy được 17 bước của Thỏ thì Thỏ mới xuất phát và Rùa còn cách đích 10 bước của Thỏ nên độ dài đoạn đường đua là 27 bước của Thỏ.
Khi Thỏ bắt đầu chạy và Rùa chạy 3 bước Thỏ mới chạy một bước nên để chạy hết quãng đường đua thì Thỏ cần phải chạy 27 bước của Thỏ và bằng 81 bước của Rùa.
Vậy, Rùa đến đích trước Thỏ bằng 1 bước của rùa
Comments mới nhất