Hệ tọa độ trong không gian - Kiến thức cơ bản - Giải bài tập Hình học 12

Đang tải...

KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1. Hệ tọa độ

Trong không gian cho ba trục tọa độ chung gốc $O$ , đôi một vuông góc với nhau $x^{'} O x; y^{'} O y; z^{'} O z$ . Hệ thống ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc $O x y z$ ; $O$ là gốc tọa tọa độ. Giả sử $\overrightarrow{i}$ ; $\overrightarrow{j}$ ; $\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục $x^{'} O x, y^{'} O y, z^{'} O z$

Hệ tọa độ trong không gian

2. Toạ độ giao điểm

Trong không gian, cho hệ trục toạ độ Oxyz và một điểm M tùy ý. Khi đó i, j, k không đồng phẳng nên tồn tại duy nhất một bộ ba số sao cho $\overrightarrow{OM}$ = x $\overrightarrow{i}$ + y $\overrightarrow{j}$ + z $\overrightarrow{k}$ .

Ta nói bộ ba số (x; y; z) là toạ độ của điểm M đối với hệ trục toạ độ Oxyz đã cho và viết M(x; y; z) hoặc M = (x; y; z).

Như vậy M(x;y;z) <=> $\overrightarrow{OM}$ = x $\overrightarrow{i}$ +y $\overrightarrow{j}$ + z $\overrightarrow{k}$ .

3. Toạ độ của vectơ

Trong không gian Oxyz cho vectơ $\overrightarrow{a}$ , ta luôn có $\overrightarrow{a}$ = a1 $\overrightarrow{i}$ + a2 $\overrightarrow{j}$ + a3$latex\overrightarrow{k} $. Khi đó bộ ba số (a1; a₂; a₃) được xác định duy nhất và được gọi là toạ độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ đối với hệ trục toạ độ Oxyz. Ta viết như sau:

$\overrightarrow{a}$ =(a1;a₂;a₃) hoặc $\overrightarrow{a}$ (a₁;a₂;a₃).

Như vậy thì: $\overrightarrow{a}$ = (a1;a₂;a₃)=> $\overrightarrow{a}$ = a1 $\overrightarrow{i}$ + a2 $\overrightarrow{j}$ + a3 $\overrightarrow{k}$ .

Xem thêm: Bài tập hệ tọa độ trong không gian tại đây.

4. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

– Định lí

Đối với hệ trục Oxyz, nếu có hai vectơ $\overrightarrow{a}$ (a1;a₂;a₃) và $\overrightarrow{b}$ (b1;b₂;b₃) thì ta có:

$\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ = (a1 +b1; a₂ +b₂; a₃ +b₃).

$\overrightarrow{a}$ – $\overrightarrow{b}$ = (a1 – b1; a₂ – b₂; a₃ – b₃) .

k $\overrightarrow{a}$ = k(a₁;a₂;a₃) = (ka₁;ka₂;ka₃) với k ∈ R.

– Hệ quả

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ (a₁;a₂;a₃) và $\overrightarrow{b}$ (b1;b₂;b₃). Ta có: $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{b}$ <=> a1 = b1; a₂ = b₂; a₃ =b3.

+ Vectơ $\overrightarrow{0}$ có toạ độ là (0; 0; 0).

+ Với $\overrightarrow{b}$ ≠ $\overrightarrow{0}$ thì hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho: a₁ = kb1 ; a₂ = kb₂; a₃ = kb₃.

+ Trong không gian Oxyz, nếu hai điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B) thì:

$\overrightarrow{AB}$ = (x_B– x_A; y_B– y_A; z_B– z_A).