Bài toán tiếp tuyến chung của hai đường tròn
I. Hướng dẫn giải
Sử dụng tính chất của tiếp tuyến và định lí Ta-lét.
II. Bài tập mẫu
Bài 1. Cho hai đường tròn ngoài nhau (O1, R1) và (O2, R2). Tiếp tuyến chung ngoài d và tiếp tuyến chung trong d’ cắt đường nối tâm O1O2 lần lượt tại S và I. Chứng minh:
Giải
d là tiếp tuyến chung ngoài của (O1) và (O2), tiếp điểm T1 và T2, ta có:
Theo định lí Vi-ét, ta có:
Tương tự: d’ là tiếp tuyến chung trong của (O1) và (O2), tiếp điểm là T1 và T2′, ta có:
Theo định lí Vi-ét, ta có:
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Bài 2. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm M bất kì trên nửa đường tròn (O). H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB. Vẽ hai nửa đường tròn tâm I đường kính AH và tâm K đường kính BH nằm phía trong nửa đường tròn (O), cắt MA, MB lần lượt tại P, Q.
a. Chứng minh MH = PQ
b. Chứng minh PQ là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (I) và (K).
Giải
a. Ba điểm M, P, Q lần lượt nằm trên ba nửa đường tròn (O), (I) và (K) nên góc AMB bằng 
Suy ra: góc MPH bằng
⇒ Tứ giác MPHQ là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông).
⇒ MH = PQ (hai đường chéo của hình chữ nhật).
b. Theo câu a tứ giác MPHQ là hình chữ nhật ⇒ góc HPQ bằng góc MHP (1)
IP = IH (bán kính của nửa đưởng tròn tâm I) ⇒ góc IPH bằng góc IHP (2)
⇒ PQ ⊥ IP
⇒ PQ là tiếp tuyến của nửa đường tròn (I).
Tương tự: PQ cũng là tiếp tuyến của nửa đường tròn (K).
Vậy PQ là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (I) và (K).
III. Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho hai đường tròn (O, 3cm) và (O’, 4cm) ngoài nhau. Tiếp tuyến chung ngoài d và tiếp tuyến chung trong d’ cắt OO’ lần lượt tại I và J. Biết OO’ = 14cm. Tính độ dài đoạn thẳng IJ.
Bài 2. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một tiếp tuyến tại điểm di động M trên nửa đường tròn cắt tiếp tuyến Ax, By tại C và D. Các đường thẳng vuông góc với CD tại C và D cắt AB tại N và P. Đường tròn tâm N và đường tròn P tiếp xúc với nhau tại O. Chứng minh CD là tiếp tuyến chung của đường tròn (N) và đường tròn (P).
Bài 3. Cho hai đường tròn (O, 2R) và (O’, R) tiếp xúc ngoài với nhau tại T. Gọi d là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn , A và B lần lượt là tiếp điểm của d với (O) và (O’).
a. Tính AB theo R. Chứng minh đường tròn đường kính AB tiếp xúc với OO’ tại T.
b. Đường tròn (I, R’) tiếp xúc với đường tròn (O), (O’) và tiếp xúc với AB tại C. Tính R’ theo R.
Bài 4. Cho đường tròn (O, R) và hai điểm A, B cố định trên (O) sao cho OA vuông góc với OB. Vẽ các dây cung bằng nhau AM, AN, BP, BQ. Gọi H là trung điểm của AB, K đối xứng với O qua H. Gọi C là giao điểm của AM và BP, D là giao điểm của AN và BQ (C nằm ngoài O và H).
a. Chứng minh ba điểm C, D, H thẳng hàng.
b. Chứng minh AM, AN, BP, BQ là các tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Tìm hệ thức liên hệ giữa các bán kính của hai đường tròn nói trên với R.
Comments mới nhất