Tích phân – Kiến thức cần nhớ – Bài tập giải tích 12

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1.Khái niệm tích phân

a) Định nghĩa

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] , hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x).

Chú ý , trong trường hợp a = b hoặc a> b, ta quy ước:

Nhận xét:

Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi  hay . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.

Ý nghĩa hình học của tích phân:

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn[a; b], thì tích phân  là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy:

Xem thêm: Hướng dẫn giải bài tập Tích phân 12 tại đây.

2. Tính chất hình học của tích phân

3. Phương pháp tính tích phân

a) Phương pháp đổi biến số

Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] sao cho φ(α)=a, φ(β)=b và a ≤ φ(t) ≤ b , ∀t ∈ [α;β] . Khi đó:  

Chú ý: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] . Để tính  , đôi khi ta chọn hàm số u = u(x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn [a; b] , u(x) có đạo hàm liên tục và u(x) ∈  [α;β] . Ta có:

b) Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :