Phương trình mặt phẳng – Kiến thức cơ bản – Giải bài tập Hình học 12

KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

– Định nghĩa: Cho mặt phẳng (α). Nên vectơ ≠ và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì được gọi là vectơ pháp tuyến của (α).

Chú ý: Nếu là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì k với k ≠ 0 cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

– Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ Cho hai vectơ = (a1; a₂; a₃), = (b1; b₂; b₃).

Vectơ = (a₂b₃ -a₃b₂; a₃b1 -a1b₃; a1b₂ -a₂b1) được gọi là tích có hướng của hai vectơ , kí hiệu = |, |.

Chú ý:

– Nếu hai vectơ , không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α) thì mặt phẳng (α) nhận n làm vectơ pháp tuyến.

Để dễ nhớ, người ta thường kí hiệu vectơ  như sau:

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

– Phương trình tổng quát

Trong không gian, phương trình tổng quát của mặt phẳng là:

(P): Ax + By + Cz + D = 0;  + + ≠ 0.

Chú ý:

+ Trong phương trình tổng quát thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:  = (A;B;C).

+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ pháp tuyến  = (A; B; C) là:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = Q.

– Các trường hợp riêng

+ D = 0 => Mặt phẳng (P) đi qua gốc toạ độ.

+ Nếu một trong ba hệ số A, B, cC bằng 0 thì mặt phẳng (P) song song với một trục toạ độ, hoặc chứa một trục toạ độ.

A = 0 => (P) // Ox hoặc Ox ⊂ (P)

B = 0 => (P) // Oy hoặc Oy ⊂(P)

C = 0 => (P) // Oz hoặc Oz ⊂ (P)

+ Nếu hai trong ba hệ số A, B, C bằng 0 thì mặt phẳng (P) song song vói một mặt phẳng toạ độ, hoặc trùng với một mặt phẳng toạ độ.

A = B = 0 và c ≠ 0 => (P) // Oxy hoặc (P) trùng với mặt phẳng Oxy.

+ Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 

              

Xem thêm: Hướng dẫn giải bài tập phương trình mặt phẳng tại đây.

3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

– Hai mặt phẳng cắt nhau

Cho hai mặt phẳng (P): A1x+ B1y + C1z + D1 =0

                                   (Q): A2x + B2y + C2+ D2 =0

Điều kiện để hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau là:

               A1: B1 : C1 ≠  k(A2 : B2 : C2 ) tức là các hệ số không tỉ lệ với nhau

– Hai mặt phẳng song song

Nghĩa là các hệ số tỉ lệ với nhau và không tỉ lệ với hạng tử độc lập.

– Hai mặt phẳng trùng nhau

Nghĩa là các hệ số tỉ lệ với nhau đồng thời tỉ lệ với hạng tử độc lập.

– Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

 

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lí:

      Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M₀(x₀; y₀; z₀). Khoảng cách từ điểm M₀ đến mặt phẳng (P), kí hiệu là d(M₀, (P)) được tính theo công thức như sau:

  

5. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình lần lượt là:

                 (P): A1x+ B1y + C1z + D1 =0

                 (Q): A2x + B2y + C2+ D2 =0

 Gọi φ là góc giữa (P) và (Q) thì 0° ≤ φ ≤ 90°  và :