Phương trình đường thẳng trong không gian – Kiến thức cơ bản – Giải bài tập Hình học 12

Phương trình đường thẳng trong không gian

Kiến thức cần nhớ:

1. Phương trình đường thẳng

– Phương trình tham số của đường thẳng

Định lí:

+ Trong không gian Oxyz cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀; z₀) và nhận  = (a1; a₂; a₃) làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên Δ  là có một số thực t sao cho:

                   

+ Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương  = (a1; a₂; a₃) là phương trình có dạng:

                    

  + Phương trình chính tắc của đường thẳng

Neu a1, a2, a₃ đều khác 0 thì người ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng  Δ dưới dạng chính tắc như sau:  

                   

2. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau , chéo nhau.

Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt đi qua M₀(x₀;y₀; z₀), M’₀(x’₀;y’₀; z’₀)
Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau và có vectơ chỉ phương theo thứ tự là = (a1; a₂; a₃);   = (a’1; a’₂; a’₃).

Gọi  = [, ]. ta có:

                 

3. Điều kiện để một đường thẳng song song, cắt hoặc vuông góc với mặt phẳng

Cho đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀;y₀; z₀), có vectơ chỉ phương = (a1; a₂; a₃) và cho mặt phẳng (α) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0. Gọi = (A; B; C) là vectơ pháp tuyến của (α). Ta có các điều kiện sau:

                

4. Tính khoảng cách

– Trong không gian Oxyz, để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta thực hiện các bước:

+ Viết phương trình mặt phẳng α) chứa M và vuông góc với Δ; Trong không gian Oxyz, để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng A ta thực hiện các bước:

+ Tìm giao điểm H của Δ với (α);

+ Khoảng cách từ điểm M đến Δ chính là khoảng cách giữa hai điểm M và H: d(M,Δ) = MH.

– Để tính khoảng cách giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (α) song song với Δ ta thực hiện các bước:

+ Lấy một điểm M₀(x₀;y₀; z₀) tùy ý trên đường thẳng Δ;

+ Khoảng cách giữa A và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ điểm Mo đến mặt phẳng (α):

d(Δ,(α)) = d(M₀,(α))

– Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Δ và Δ‘ ta thực hiện các bước:

+ Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với đường thẳng Δ‘;

+ Lấy một điểm M’₀(x’₀;y’₀; z’₀) tùy ý trên Δ‘;

+ Khoảng cách giữa Δ và Δ‘ chính là khoảng cách từ điểm M’o đến mặt phẳng (α):

d(Δ,A‘) = d(M’₀,(α)).