Phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán bồi dưỡng lớp 9 – Đại số

Phương trình bậc nhất hai ẩn  

 

Kiến thức cần nhớ

     Phương trình bậc nhất hai  ẩn là phương trình có dạng ax + by = c, trong đó x và y là các ẩn ; a, b, c là các số đã biết, a và b không đồng thời bằng 0.

    Đồ thị của phương trình ax + by = c là một đường thẳng.

 

Ví dụ 15.

Cho phương trình

ax + by = c (a và b không đồng thời bằng 0).                          (1)

Đường thẳng biểu diễn phương trình có dạng như thế nào nếu :

a)  a ≠ 0, b ≠ 0 ;

b) a = 0, b ≠ 0 ;

c)  a ≠ 0, b = 0.

Giải

a) Nếu a 0, b ≠ 0 thì phương trình (1) trở thành y = x + .

Khi đó đồ thị cắt cả hai trục toạ độ (chẳng hạn đường thẳng 2x – y = 1 ở hình 2a ; y = 2x – 1 là hàm số bậc nhất).

b) Nếu a = 0, b ≠ 0 thì (1) có dạng  y = .

Khi đó đường thẳng (1) vuông góc với trục tung (chẳng hạn đường thẳng y = 2 ở hình 2b ; y = 2 là hàm hằng số). Đặc biệt,     nếu c = 0 ta  có phương trình của trục hoành y = 0.

c)   Nếu a ≠ 0, b = 0 thì (1) có dạng x = .

Khi đó đường thẳng sẽ vuông góc với trục hoành (chẳng hạn đường thẳng x = -1 ở hình 2c ; chú ý rằng x= -1 không phải là hàm số vì ứng với một giá trị của x có nhiều hơn một giá trị tương ứng của y). Đặc biệt nếu c = 0 ta có phương trình của trục tung x = 0.

Ví dụ 16.

Tìm các số nguyên x, y thoả mãn mỗi phương trình sau :

 

Giải

 

Đặt x + 1 = 2k (k ∈ Z) thì x = 2k – 1, y = 3(2k -1) + k = 7k – 3. Các số nguyên x, y thoả mãn phương trình đã cho là x = 2k – 1, y = 7k – 3 với k ∈ Z .

b) Biểu thị y theo x được

Đặt x – 1 = 3k (k ∈ Z) thì x = 3k + 1, y = 3(3k + 1) – 1 + k  = 10k + 2.

Các số nguyên x, y thoả mãn phương trình đã cho là x = 3k+ 1, y = 10k + 2 với k ∈ Z.

 

BÀI TẬP

71.  Chứng minh rằng khi a thay đổi, các đường thẳng ax + 5y = 2 luôn đi qua một điểm cố định.

72. Xét các đường thẳng d có phương trình

(m + 2)x + (m – 3)y – m + 8 = 0.

73. Chứng minh rằng với mọi m, các đường thẳng luôn luôn đi qua điểm A(-1; 2).

73*. Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đường thẳng 2x + (m – 1)y = 1 luôn luôn đi qua một điểm cố định.

74.  Vẽ đồ thị của các hàm số :

a) y = ;                                 ‘ b) y = 2x + |1 – 2x|.

75. Cho hàm số

y = |x| + |1 – x|.

a)  Vẽ đồ thị của hàm số.

b)  Dùng đồ thị để tìm giá trị nhỏ nhất  của biểu thức |x| + |1 – x|.

c)  Dùng đồ thị để tìm số nghiệm của phương trình |x| + |1 – x| nếu m = 1, m > 1, m < 1.                                                             

76. Tìm nghiệm nguyên của các phương trình :

a) 6x + y = 5 ;                            b)  4x + 3y = 20 ;                c)  12x – 5y = 2.

77. Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình :

a)  4x + 11y = 47 ;                       b) 1 lx + 18y = 120.

78. Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình :

a)  xy – 2x + 3y = 27 ;                                b) x(y + 3) – y = 38 ;

b) 3xy + x + y = 17 ;                                  d)   + x +  1 = xy – y.

79. a) Vẽ đồ thị của phương trình 2x  –  3y = 6.

b) Biết rằng đường thẳng 2x – 3y = 6 chia mặt phẳng toạ độ thành hai miền (không kể đường thẳng 2x – 3y = 6) : một miền gồm các điểm cố toạ độ (x ; y) mà hoành độ và tung độ thoả mãn bất phương trình 2x – 3y < 6, miền còn lại gồm các điểm có toạ độ (x ; y) mà hoành độ và tung độ thoả mãn bất phương trình 2x – 3y > 6. Hãy xác định hai miền đó trên hình vẽ.

Xem hướng dẫn giải bài tập tại đây.