Phép vị tự

Đang tải...

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa

Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép vị tự tâm O, tỉ số k là phép biến hình hiến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho $\overrightarrow{OM'}$ = k $\overrightarrow{OM}$ .

Phép vị tự tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là V(O, k)

Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

2. Biểu thức toạ độ

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho I(x₀; y₀), M(x; y). Gọi M'(x’;y’) = V(O,k)(M) thì:

3. Tính chất

– Nếu phép vị tự số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’ thì:

$\overrightarrow{M'N'}$ = k $\overrightarrow{MN}$ và M’N’ = |k|MN.

– Phép vị tự tỉ số k:

+ Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất.

+ Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự.

+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

+ Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc tràng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng có độ dài bằng a thành đoạn thẳng có độ dài bằng |k|a.

+ Biến góc thành góc bằng nó, biên tam giác thành tam giác đông dạng có tỉ số đồng dạng với nó là |k|.

+ Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|R.

4. Tâm vị tự của hai đường tròn

– Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Tâm của phép vị tự đó được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

– Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn: Cho hai đường tròn (I; R) và (I’; R’). Có ba trường hợp xảy ra:

+ Nếu I trùng với r thì phép vị tự tâm I tỉ số $\frac{R'}{R}$ và $-\frac{R'}{R}$ sẽ biến (I; R) thành (I’; R’).

+ Nếu I ≠ I’ và R ≠ R’

Lấy điểm M bất kì thuộc (I; R), đường thẳng qua I’ song song với IM cắt đường tròn (I’; R’) tại M’ và M”. Giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng II’ còn M, M” nằm khác phía đối vớiđường thẳng II’. Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng II’ tại điểm O nằm ngoài đoạn thẳng II’, còn đường thẳng MM” cắt đường thẳng II’ tại điểm O1 nằm trong đoạn thẳng II’.

Khi đó phép vị tự tâm O tỉ số k = $\frac{R'}{R}$ , và phép vị tự tâm O1 tỉ số k1 = $-\frac{R'}{R}$ sẽ biến đường tròn(I; R) thành đường tròn(I’; R’). Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn O1 là tâm vị tự trong của hai đường tròn (I; R) và (I’; R’).

Nếu I ≠ I’ và R = R’

Khi đó MM’ //II’ nên chỉ có phép vị tự tâm O1 tỉ số k = $-\frac{R'}{R}$ = -1 biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’; R’). Đó chính là phép đối xứng tâm O1.

B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK)

Bài 1 trang 29 sách giáo khoa Hình học 11

Bài 2 trang 29 sách giáo khoa Hình học 11

Lấy điểm M thuộc đường tròn (I). Qua I’ kẻ đường thẳng song song với IM, đường thẳng này cắt đường tròn (I’) tại M’và M”. Hai đường thẳng MM’ và MM” cắt đường thẳng II’ theo thứ tự tại O và O’. Khi đó O và O’ là các tâm vị tự cần tìm.

Vì hai đường tròn đã cho có bán kính khác nhau nên chúng có hai tâm vị tự là O và O’, được xác định trong các trường hợp dưới đây:

Trường hợp 1: