Phần nâng cao – Phương trình bậc cao – Ôn thi vào lớp 10 – Đại số

Nâng cao phương trình bậc hai

1. Phương trình tam thức

Phương trình tam thức là phương trình có dạng: 

Cách giải phương trình tam thức

Đặt = y. Để tìm nghiệm của phương trình ta giải hệ sau:

Với n=2 và a, b, c đồng thời khác 0 ta có được phương trình trùng phương.

Ví dụ: Giải phương trình: – 2-8=0 (1).

Giải

2. Phương trình đối xứng

Phương trình dạng:

Trong đó vế trái của phương trình là một đa thức bậc n được gọi là đối xứng nếu các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối là bằng nhau, nghĩa là: 

Cách giải phương trình đối xứng:

– Với phương trình:

Ta thấy được = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1), nên chia cả hai vế của phương trình (1) cho khác 0, ta có:

Giải phương trình này tìm y rồi suy ra .

– Với phương trình:

a +b +c+ b + a = 0 (2).

Ta thấy được phương trình đối xứng bậc lẻ này luôn có nghiệm = – 1 nên ta có thể biến đổi phương trình (2) thành phương trình:

( +1)(a + (b-a) + (c-b+a) +(b-a) +a)=0.

Ngoài nghiệm = -1, để tìm các nghiệm còn lại của phương trình (2), ta giải phương trình:

a +(b-a) +(c-b+a) +(b-a) +a=0 (2′). Đây là một phương trình đối xứng bậc chẵn, áp dụng phương pháp giải cho phương trình bậc chẵn ở trên ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình (2′).

Tổng quát:

Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đối xứng với được đưa về phương trình bậc n đối với y bằng cách đặt:

Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một nghiệm là -1, do đó bằng cách chia cả hai vế của phương trình cho +1 ta hạ bậc của phương trình thành phương trình đối xứng bậc chẵn 2n.