Phần nâng cao cực trị hình học – ôn vào 10
Phương pháp giải
Sử dụng các bất đẳng thức:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B thuộc AC.
* Độ dài nửa dây cung nhỏ hơn hoặc bằng bán kính (Độ dài dây cung nhỏ hơn hoặc bằng đường kính)
MH ≤ CO
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M trùng C
* Dây cung lớn hơn thì khoảng cách từ tâm đến dây cung đó nhỏ hơn
AB ≥ CD thì OH ≤ OK
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD
* Độ dài đường vuông góc ≤ độ dài đường xiên: AM ≥ AH
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M trùng H
* Sử dụng bất đẳng thức Cô – si
Với a, b > 0 thì 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
II. Bài tập mẫu
Bài 1. Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định (BC < 2R). A là điểm di động trên cung lớn BC. Xác định vị trí của điểm A để diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất.
Giải
Kẻ AH ⊥ BC
Diện tích tam giác ABC bằng:
Vì BC cố định nên S lớn nhất khi và chỉ khi AH lớn nhất
Gọi A’ là điểm chính giữa của cung lớn BC.
A’O cắt BC tại điểm M
Ta có: AH ≤ A’M
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A trùng A’.
Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi A là điểm chính giữa của cung BC.
Bài 2. Cho đường tròn (O) và điểm P ở trong đường tròn (P khác O). Xác định vị trí dây cung đi qua P sao cho dây cung đó có độ dài nhỏ nhất.
Giải
Kẻ dây cung AB đi qua P
Kẻ OH ⊥ AB
AB nhỏ nhất khi và chỉ khi H trùng P
Suy ra, OH lớn nhất khi H trùng P
Khi đó dây cung AB ⊥ OP tại P là dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Bài 3. Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB = 2a. Gọi (O) là đường tròn tâm O bán kính a. Tìm điểm M thuộc đường tròn (O) sao cho MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
Đường thẳng OA cắt đường tròn (O) tại C và D với C là trung điểm của OA.
Gọi E là trung điểm của OC
* Trường hợp M không trùng C và D:
△OEM và △OMA có:
Suy ra: △OEM ~ △OMA
* Trường hợp M trùng với C:
MA = CA = 2EC = 2EM
* Trường hợp M trùng với D:
MA = DA = 2ED = 2EM
Vậy, ta luôn có: MA = 2EM
Do đó: MA + 2MB = 2(EM + MB) ≥ 2EB (không đổi)
Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của BE với đường tròn (O)
Vậy MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của BE với đường tròn (O).
Bài 4. Cho đoạn thẳng BC và đường thẳng d song song với BC. Biết khoảng cách giữa đường thẳng d và đường thẳng đi qua BC nhỏ hơn BC/2. Giả sử A là một điểm thay đổi trên đường thẳng d. Xác định vị trí của A để diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC nhỏ nhất.
Giải
Cách 1:
Diện tích hình tròn lớn ngoại tiếp △ABC lớn nhất khi bán kính của nó lớn nhất
Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R
Do khoảng cách từ O đến đường thẳng d nhỏ hơn R = BC/2 nên đường tròn (O) cắt đường thẳng d tại hai điểm A1 và A2
Đường tròn ngoại tiếp △A1BC có bán kính:
Đường tròn ngoại tiếp △A2BC có bán kính:
Trên d lấy điểm A (A khác A1, A2)
Khi đó A không thuộc đường tròn đường kính BC nên góc BAC khác
⇒ BC là một dây cung (không phải là đường kính) của đường tròn (O’,R’) ngoại tiếp △ABC ⇒ 2R’BC = 2R ⇒ R’ > R
Vậy, bán kính đường tròn ngoại tiếp △ABC đạt giá trị bé nhất bằng: BC/2 khi A trùng A1 hoặc A’ trùng A2.
Cách 2:
Do tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp △ABC chạy trên đường trung trực của BC nên bán kính của đường tròn đó là:
Dấu “=” đạt được khi I trùng O
Do đó đường tròn có bán kính bé nhất là đường tròn đường kính BC và điểm A phải tìm là một trong hai điểm A1, A2 nói trên.
Bài 5. Cho đoạn thẳng AB và một điểm M di động trên AB. Vẽ các đường tròn đường kính MA và MB. Xác định vị trí điểm M để tổng diện tích hai hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
Diện tích đường tròn đường kính MA:
Diện tích đường tròn đường kính MB:
Tổng diện tích hai đường tròn:
Áp dụng đẳng thức Cô – si ta được:
Vậy, tổng diện tích của hai đường tròn nhỏ nhất khi M là trung điểm của AB.
III. Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho đường tròn (O) bán kính R và dây cung BC có độ dài BC = R
a. Chứng minh K luôn chạy trên một đường tròn cố định.
b. Xác định vị trí của điểm A để diện tích tam giác KBC lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó theo R.
Bài 2. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Bên trong tam giác vẽ hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc ngoài với nhau. Sao cho một trong hai đường tròn tiếp xúc với các cạnh BC và BA, đường tròn kia tiếp xúc với các cạnh BC và CA.
a. Chứng minh:
b. Các bán kính R và R’ bằng bao nhiêu để tổng diện tích các hình tròn (O, R) và (O’, R’) nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 3. Cho đường tròn tâm O, bán kính R. A và B là hai điểm cố định trên đường tròn (AB < 2R). M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn. Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMB lớn nhất.
Bài 4. Cho đường tròn (O) đường kính BC và một điểm A di động trên đường tròn sao cho AB ≤ AC. Từ A hạ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi R1, R2, R3 là bán kính tương ứng của các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABH và ACH. Xác định vị trí của P để tổng R1 + R2 + R3 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5. Cho đường tròn (O) và một điểm P cố định ở trong đường tròn. Xác định dây AB đi qua P sao cho góc OAB đạt giá trị lớn nhất.
Bài 6. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm M cố định trên AB (M khác O). Vẽ các tiếp tuyến Ax và By của đường tròn (O). Một góc vuông x’My’ cắt Ax tại C và cắt By tại D. Xác định vị trí của C và D trên Ax và By sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
Comments mới nhất