Kiến thức cần nhớ về tích phân – Sách bài tập giải tích 12

 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Tích phân và tính chất

Định nghĩa.

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] , hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x).

♥ Chú ý :

1) Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa:

                  

Trường hợp a > b, ta định nghĩa:

                                   

2) Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là :

                 

(  đều bằng F(b) – F(a))

Tính chất của tích phân:

>>Tính chất 1.

                  

>>Tính chất 2. 

                  

>>Tính chất 3.

                  

♥ Chú ý :

Mở rộng tính chất của tích phân 3:

               

( a < c1 < c2 < … < cn < b)    

2. Phương pháp tính tích phân

a) Phương pháp đổi biến số

Định lí 1.

Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α)=a, φ(β)=b và a ≤ φ(t) ≤ b , ∀t ∈ [α;β] . Khi đó:  

                  

Định lí 2.

Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a;b]. Nếu f(x) =g[u(x)].u^’(x) ∀ x∈ [a;b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α;β] thì: 

                   

b) Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :

                   

♥ Chú ý :

Nếu α > β thì ta xét đoạn [β ; α ]