Kiến thức cần nhớ về nguyên hàm – Sách bài tập giải tích 12

Kiến thức cần nhớ :

1. Nguyên hàm và tính chất:

Định nghĩa:

Định nghĩa. Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm sốF(x) được gọi là nguyên hàm của hàm sốf(x) trên K, nếu

F'(x) = f(x) với mọi X ∈ K.

Định lí

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, thì với mỗi hằng số, hàm số G(x) = F(x) + cũng là một nguyên hàm của f(x) trên

2) Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, thì mọi nguyên hàm của f{x) trên K đều có dạng F(x) + c với c là một hằng số.

Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là ∫f(x)dx .

Khi đó

                     ∫f(x)dx = F(x) + c , c ∈ R.

Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1

                      ∫f'(x)dx = f(x) + c.

Tính chất 2

                      ∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)

Sự tồn tại nguyên hàm

                      ∫(f(x) ± g(x)) =  ∫f(x)dx ±  ∫g(x)dx

Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí.

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.

 2. Phương pháp tính nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Định lí 1.

Nếu ∫f(u)du = F(u)+ C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

                                 ∫f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + C

Hệ quả: Nếu u= ax +b (a≠0) thì ta có 

                                f(ax+b)dx = 1/a.F(ax+b) + C

 b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí 2.

Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

                      ∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx

Hay: ∫udv=uv−∫vdu