Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau – Giải bài tập sách giáo khoa Toán 11

Khái niệm phép dời hình và hai hình bằng nhau

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa về phép dòi hình

       Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

       Tức là với hai điểm M, N và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng, ta luôn có M’N’ = MN.

       Áp dụng định nghĩa, suy ra các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình.

       Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì ta được một phép dời hình.

2. Tính chất

Phép dời hình cỏ các tính chất:

– Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.

– Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

– Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.

– Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Chú  ý:

– Nếu một phép dời hình biến ∆ABC thành ∆A’B’C’ thì nó cùng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp,… của ∆ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp,… của ∆A’B’C.

– Phép dời hình biến đa giác n thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

3. Hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK)

Bài 1 trang 23 sách giáo khoa Hình học 11

a) Gọi r = OA, α là góc lượng giác (Ox, OA), (β là góc lượng giác (Ox, OA’).

Giả sử: A’ = (x’;y’).

Do đó: β = α – , x = rcosα, y = rsinα.

Suy ra:

x’ = rcosβ = rcos(α – ) = rsinα = y

y’ = r sinβ = rsin (α – ) = -rcosα = -x.

Như vậy phép quay tâm O góc ” biến A(-3; 2) thành A'(2; 3).

Tương tự như trên với các trường hợp khác.

b) Gọi tam giác A1B1C1 là ảnh của tam giác A’B’C qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó A1(2;-3), B1(5;-4), C1(3;-1) là đáp số cần tìm.

Bài 2 trang 24 sách giáo khoa Hình học 11

Gọi G là trung điểm của OF.

Phép đối xứng qua đường thẳng EH biến hình thang AEJK thành hình thang BEGF.

Phép tịnh tiến theo vectơ BF biến hình thành BEGF thành hình thang FOIC.

Suy ra hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.

Bài 3 trang 24 sách giáo khoa Hình học 11

Gọi phép dời hình đó là f.

Do f biến các đoạn thẳng AB, AC tương ứng thành các đoạn thẳng A’B’, A’C’ nên nó cũng biến các trung điểm M, N của các đoạn thẳng AB, AC lần lượt theo thứ tự thành các trung điểm M’, N’ của các đoạn A’B’, A’C’.

Vậy f biến các trung tuyến CM, BN của ∆ABC tương ứng thành các trung tuyến C’M, B’N’ của ∆A’B’C’.

Do đó suy ra f biến trọng tâm G của ∆ABC là giao điểm của CM và BN thành trọng tâm G’ của ∆A’B’C’ là giao điểm của C’M’ và B’N’.