Hướng dẫn giải bài 5 trang 45 sách giáo khoa giải tích 12

Bài 5 trang 45 sách giáo khoa giải tích 12

Cho hàm số

                        

có đồ thị là (Cm), m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1.

b) Xác định m để hàm số:

                         i) Đồng biến trên khoảng (−1;+∞).

                         ii) Có cực trị trên khoảng (−1;+∞).

c) Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Hướng dẫn giải

a) Với m = 1.

Ta có: y = 2  + 2x

Tập xác định: R.

Sự biến thiên:

     Chiều biến thiên: y’ = 4x + 2; y’ = 0 <=> 4x + 2 = 0 <=>x = -1/2.

Trên khoảng (-∞; -1/2) y’ âm nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng (-1/2 ; +∞) y’dương nên hàm số đồng biến.

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại:

x = -1/2 ; yCT = y(-1/2) = -1/2.

 Các giới hạn tại vô cực:

Bảng biến thiên:

Đồ thị cắt trục Ox tại (0;0) và (-1; 0). cắt Oy tại điểm (0; 0). Toạ độ một số điểm: A(-2; 4); B(1;4).

b) Ta có:

 y′= 4x+2m ; y′= 0 <=> 4x+2m  = 0 <=>x=−m/2

Bảng biến thiên:

i) Đồng biến trên khoảng (-1; +∞) khi -1  ≥ -m/2 <=> m ≥ 2.

ii) Có cực trị trên khoảng (-1; +∞).

Hàm số bậc hai chỉ có cực đại hoặc cực tiểu tại đỉnh nên để hàm số có cực

trị trên khoảng (-1; +∞) thì -m/2 ∈ (-1; +∞), tức là -m/2 > -1 <=> m < 2.

c) Phương trình: + 2sinx + m – 1 =0. Ta có:

Δ’ =  – 2m + 2 =  + 1 >0, ∀m ∈ R.

Vậy, (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.