Hướng dẫn giải bài 5 trang 10 sách giáo khoa giải tích 12

Bài 5 trang 10 sách giáo khoa giải tích 12

 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Hướng dẫn giải

a) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=tanx–x$ với $x\in (0;\frac{\mathrm{\pi /}}{2})$.

Ta có : f'(x) = 1 +  -1 =  > 0, 

Vậy hàm số luôn đồng biến trên nửa khoảng [$0;\frac{\mathrm{\pi /}}{2}),\; do\; đó\; f(x)\; >\; f(0).$

<=> tan x -x > 0 <=> tan x >x , ∀x ∈ ($0;\frac{\mathrm{\pi /}}{2})$. 

 b) Xét hàm số : g(x) = tan x – x –  liên tục trên [$0;\frac{\mathrm{\pi /}}{2})$

Ta có:

Do vậy: y’ ≥ 0. ∀x ∈ ($0;\frac{\mathrm{\pi /}}{2})$.

Dễ thấy: y’ = 0<=> x =0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [$0;\frac{\mathrm{\pi /}}{2})\; thì\; g\; (x)\; >\; g(0)\; <=>\; tan\; x\; –\; x\; – \; .\; 0\; <=>\; tan\; x\; >\; x\; +$