Hướng dẫn giải bài 4.61 – Sách bài tập đại số và giải tích 11 trang 175

Hướng dẫn giải bài 4.61 – Sách bài tập đại số và giải tích 11 trang 175 

Bài 4.61 

Xét hàm số $g\left(x\right)=\; f\left(x\right)-f\left(x+\frac{\mathrm{1/}}{2}\right)$

Ta có: 

(vì theo giả thiết $f\left(0\right)=f(1))$

Do đó,

–  Nếu $g\left(0\right)g\left(\frac{\mathrm{1/}}{2}\right)=0$ thì x = 0 hay $x=\frac{\mathrm{1/2}}{}$là nghiệm của phương trình $g\left(x\right)=0$

–   Nếu $g\left(0\right)g\left(\frac{\mathrm{1/}}{2}\right)<0$   (1)

Vì $y=f(\mathrm{x)}$ và $\mathrm{y\; =}f\left(x+\frac{\mathrm{1/2}}{}\right)$ đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số $y=g\left(x\right)$ cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên $\left[0;\frac{\mathrm{1/}}{2}\right]$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình $g\left(x\right)=$0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0 ; 1/2) 

Kết luận : Phương trình $g\left(x\right)=0$ hay $f\left(x\right)-f\left(x+\frac{\mathrm{1/}}{2}\right)=0$

luôn có nghiệm trong đoạn [$0;\frac{\mathrm{1/}}{\mathrm{2]}}$