Hướng dẫn giải bài 1.81 trang 41 sách bài tập giải tích 12

Bài 1.81 trang 41 sách bài tập giải tích 12

Cho hàm số  

             

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O(0;0) và tiếp xúc với (C) .

c) Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Học sinh tự giải.

b)

Cách 1.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M₀(x₀; y₀) là:

                        y – y₀ = y’(x₀)(x – x₀)

Để đường thẳng đó đi qua O(0; 0), điều kiện cần và đủ là: 

ta có phương trình tiếp tuyến: 

                         

ta có phương trình tiếp tuyến: 

                         

Cách 2.

Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có dạng y = kx.

Để xác định tọa độ tiếp điểm của hai đường: 

              

Giải phương trình thứ nhất ta được: 

                                                                   

Thay vào phương trình thứ hai ta có:

 

Từ đó có hai phương trình tiếp tuyến là: 

c) Để tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên ta có:

Điều kiện cần và đủ để  $M(x,y)\in \left(C\right)$có tọa độ nguyên là: 

  tức (x – 2) là ước của 9.

Khi đó, x – 2 nhận các giá trị $\pm 1;\pm 3;\pm 9$ hay x nhận các giá trị 1; 3; -1; 5; -7; 11.

Do đó, ta có 6 điểm trên (C) có tọa độ nguyên là:  (1; -6), (3; 12), (-1; 0), (5; 6), (-7; 2), (11; 4).