Hướng dẫn giải bài 1.77 trang 40 sách bài tập giải tích 12

Bài 1.77 trang 40 sách bài tập giải tích 12

Cho hàm số 

                        

a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a = 3/2.

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số:  

                

Hướng dẫn giải

a) Ta có:  

+)Với a = 1, y’ = 2x + 1  đổi dấu khi x đi qua -1/2  . Hàm số không luôn luôn đồng biến.

+) Với $a\ne 1$thì với mọi x mà tại đó $y^{\prime }\ge 0$

(y’ = 0  chỉ tại x = -2 khi a = 2)

Vậy với $a\ge 2$ hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ta có:

 y = 0    có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình:

               

 có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Muốn vậy, ta phải có: 

Giải hệ trên ta được:

Bảng biến thiên:

Đồ thị

Vì 

Nên từ đồ thị  (C) ta suy ra ngay đồ thị hàm số: 

                    

(như hình 11 dưới đây)