Hướng dẫn giải bài 1.7 trang 8 sách bài tập giải tích 12

Bài 1.7. trang 8 sách bài tập giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Hướng dẫn giải

a) Xét hàm số $f\left(x\right)=\tan x-\sin x$trên nửa khoảng $[0;\frac{\mathrm{\pi /}}{2})$ ;

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Suy ra f(x) đồng biến trên nửa khoảng $[0;\frac{\mathrm{\pi /}}{2})$

Mặt khác, ta có f(0) = 0, nên f(x) = tan x – sin x > 0  hay tan x > sin x với mọi $x\in [0;\frac{\mathrm{1/}}{2})$

                                  trên $$[0;+\infty )$$

Dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng $[0;+\infty )$.

Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng $[0;+\infty )$ nên $g\left(x\right)\ge 0$g(x)≥0 ,

tức là $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ trên khoảng đó  và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x)

đồng biến trên nửa khoảng .

Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên

                                          với mọi $0<x<+\infty$.