Hai mặt phẳng song song – Giải bài tập sách giáo khoa Toán 11

Hai mặt phẳng song song

 

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa

       Hai mặt phẳng (α), (β) được gọi là song song với nhau nêu chúng không có điểm chung.

       Khi đó ta kí hiệu (α) // (β)  hay (β) // (α).

2. Tính chất

– Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (β) thì (α)  song song với (β). (Đây là tính  chất quan trọng để chứng minh hai mặt phẳng song song.)

– Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

+ Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) thì qua d duy nhất một mặt phẳng song song với (α).

+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

+ Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với (α) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với (α).

– Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cùng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. (Tính chất này thường xuyên được sử dụng trong các bài tập.)

– Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.

3. Định lí Ta-lét (Thalès) trong không gian

       Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.         

4. Định lí Ta-lét (Thalès) đảo

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Trên a và b lần lượt lấy A, B, C và A’ ,B’, C’ sao cho B nằm giữa A và C, C’ nằm giữa A’ và B’ và  AB/A’B’ = BC/B’C’.

Khi đó ba đường thăng AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song với nhau.

5. Hình lăng trụ và hình hộp

           Hình lăng trụ

 

           Nhận xét:

– Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.

– Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.

– Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.

        Nếu đáy của hình lăng trụ là tam giác, tứ giác, ngũ giác…thì lăng trụ tương ứng được gọi là lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác…

           Hình hộp

           Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

6. Hình chóp cụt Định nghĩa

           Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm giữa đáy và thiết diện cắt bỏi mặt phẳng song song với đáy hình chóp.

           Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.

Tính chất

Hình chóp cụt có:

– Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tượng ứng song song và các tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau

– Các mặt bên là những hình thang.

– Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.

B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK)

Bài 1 trang 71 sách giáo khoa Hình học 11

a) Ta có: a // b và AD //BC.

=> mp (a, AD) // mp (b, BC).

Mặt khác lại có:

(A’B’C’) ∩ (b, BC) = B’C’.

=> (A’B’C’) ∩ (a,AD) = d’ và giao tuyến d’ qua A’ song song với B’C’.

Vì vậy qua A’ ta có thể dựng đường thẳng d’ // B’C’ cắt d tại D’ sao cho

A’D’// B’C’. D’ chính là giao điểm của đường thẳng d và mp (A’B’C’).

b) Ta có: A’D’ // B’C’.                          (1)

Mà (a, b) // (c, d) và AB’ = (A’B’C’D’) ∩ (a, b);

                                      C’D’ = (A’B’C’D’) n (c, d)

Suy ra A’B’ // C’D’.                               (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.

Bài 2 trang 71 sách giáo khoa Hình học 11

a) Ta có: MM’ // BB’, MM’ = BB’ mà BB’ // AA’, BB’ = AA’.

Do đó MM’ // AA’ và MM’ = AA’.

Suy ra tứ giác AMM’A’ là hình bình hành.

Vậy AM // A’M’.

b) Gọi I là giao điểm của A’M và AM’.

AM’ ⊂ (AB’C’) và I ∈ AM’ nên I ∈ (AB’C).

Vậy I = A’M ∩ (AB’C’).

Gọi O là giao điểm cúa AB’ và A’B. Ta có: C’ và O là hai điểm chung của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC’).

Vậy C’O là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’C) và (A’BC’).       

d) 

  

Mặt khác C’O và AM’ là trung tuyến của tam giác AB’C” nên G là trọng tâm của tam giác AB’C’.

Bài 3 trang 71 sách giáo khoa Hình học 11

a) Vì BB’D’D và A’B’CD là hai hình bình hành nên BD // B’D’ và AD’ // B’C.

Suy ra hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) có các cặp đường thẳng cắt nhau và song song từng đôi một nên chúng song song.

Vậy (BDA’) // (B’D’C).

b) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’.

Trong mp (AA’C’C) gọi G1 và G2 lần lượt là hai giao điểm của AC’ với OA’ và CO’.

 

 

d) Mp (A’IO) chính là mp (AA’C’C).

=> (A’IO) cắt hình hộp đã cho theo thiết diện là hình bình hành AA’C’C.

Bài 4 trang 71 sách giáo khoa Hình học 11

a) (α) // (β) // (ABCD) do đó ta có: