Hai đường thẳng vuông góc

Đang tải...

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Hai đường thẳng vuông góc

Góc giữa hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ khác vectơ – không $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{v}$ .

Khi đó ta gọi góc BAC ( $0^{0}$ ≤ BÂC ≤ $180^{0}$ ) là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ trong không gian, kí hiệu là ( $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ ).

Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ đều khác vectơ – không.

Biểu thức:

$\overrightarrow{u}$ . $\overrightarrow{v}$ =| $\overrightarrow{u}$ |.| $\overrightarrow{v}$ |. cos( $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ ) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ .

Tích vô hướng là một số.

Nếu $\overrightarrow{u}$ = 0 hoặc $\overrightarrow{v}$ = 0 thì ta quy ước $\overrightarrow{u}$ . $\overrightarrow{v}$ = 0.

2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow{a}$ khác vectơ – không được gọi là vectơ chi phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ $\overrightarrow{a}$ song song hoặc trùng với đường thẳng d.

– Nếu $\overrightarrow{a}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì mọi vectơ k $\overrightarrow{a}$ với k ≠ 0 cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

– Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}$ của nó.

– Hai đường thẳng song song với nhau khi và chi khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chi phương cùng phương.

3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

Hai đường thẳng vuông góc

Chú ý:

– Điểm O có thể lấy trên một trong hai đường thẳng a và b.

– Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá $90^{0}$ .

– Nếu $\overrightarrow{u_{1}}$ , $\overrightarrow{u_{2}}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của a, b và ( $\overrightarrow{u_{1}}$ , $\overrightarrow{u_{2}}$ ) = α thì góc (a; b):

– Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng $0^{0}$ .

4. Hai đường thẳng vuông góc

Định nghĩa

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nêu góc giữa chúng bằng $90^{0}$ .

Khi đó, ta kí hiệu a ⊥ b hoặc b ⊥ a.

Nhận xét:

– Nếu $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ lần lượt là hai vectơ chỉ phương của a, b thì a ⊥ b <=> $\overrightarrow{u}$ . $\overrightarrow{v}$ = 0.

– Nếu a song song với b và c vuông góc với một trong hai đường thẳng b thì c vuông góc với đường thẳng còn lai.

– Nếu a và b vuông góc với nhau thì a và b có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Phương pháp tính

– Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD vuông góc vói nhau, ta chỉ cần chứng minh: $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{CD}$ = 0.

– Để tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b trong không gian, ta có thể áp dụng một trong hai cách sau đây:

+ Tìm một góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng a, b; đưa vào một tam giác; sử dụng các hệ thức trong tam giác (hay sử dụng nhất là định lí Cô-sin).

+ Lấy các vectơ $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ cùng phương với a, b; biểu diễn $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ qua các vectơ đã biết độ dài và góc, tính cos( $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ ) rồi suy ra góc (a; b) bằng công thức cos(a; b) = |cos( $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ )|.

B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK)

Bài 1 trang 97 sách giáo khoa Hình học 11

a) Vì $\overrightarrow{EG}$ = $\overrightarrow{AC}$ nên ta có:

( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{EG}$ ) = ( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ ) = $45^{0}$ .

Vì tam giác ACF đều nên ta có:

( $\overrightarrow{AF}$ , $\overrightarrow{EG}$ ) = ( $\overrightarrow{EF}$ , $\overrightarrow{AC}$ ) = $60^{0}$ .

Ta có:

( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{DH}$ ) = ( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AE}$ ) = $90^{0}$ .

Bài 2 trang 97 sách giáo khoa Hình học 11

$\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{CD}$ = $\overrightarrow{AB}$ .( $\overrightarrow{AD}$ – $\overrightarrow{AC}$ )

$\overrightarrow{AC}$ . $\overrightarrow{BD}$ = $\overrightarrow{AC}$ .( $\overrightarrow{AB}$ – $\overrightarrow{AD}$ )

$\overrightarrow{AD}$ . $\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{AD}$ .( $\overrightarrow{AC}$ – $\overrightarrow{AB}$ )

Suy ra $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{CD}$ + $\overrightarrow{AC}$ . $\overrightarrow{BD}$ + $\overrightarrow{AD}$ . $\overrightarrow{BC}$

= $\overrightarrow{AB}$ .( $\overrightarrow{AD}$ – $\overrightarrow{AC}$ ) + $\overrightarrow{AC}$ .( $\overrightarrow{AB}$ – $\overrightarrow{AD}$ ) + $\overrightarrow{AD}$ .( $\overrightarrow{AC}$ – $\overrightarrow{AB}$ )

= $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{AD}$ – $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{AC}$ . $\overrightarrow{AB}$ – $\overrightarrow{AC}$ . $\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{AD}$ . $\overrightarrow{AC}$ – $\overrightarrow{AC}$ . $\overrightarrow{AD}$

= ( $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{AD}$ – $\overrightarrow{AD}$ . $\overrightarrow{AB}$ ) + ( $\overrightarrow{AC}$ . $\overrightarrow{AB}$ – $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{AC}$ ) + ( $\overrightarrow{AD}$ . $\overrightarrow{AC}$ – $\overrightarrow{AC}$ . $\overrightarrow{AD}$ ) = 0.

b) Nếu AB ⊥ CD và AC ⊥ BD thì $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{CD}$ = $\overrightarrow{AC}$ . $\overrightarrow{BD}$ = 0.

Theo a) ta có $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{CD}$ + $\overrightarrow{AC}$ . $\overrightarrow{BD}$ + $\overrightarrow{AD}$ . $\overrightarrow{BC}$ = 0.

Suy ra khi đó $\overrightarrow{AD}$ . $\overrightarrow{BC}$ = 0. Vậy AD ⊥ BC.

Bài 3 trang 97 sách giáo khoa Hình học 11

a) a và b nói chung không song song.

b) a và c nói chung không vuông góc.

Bài 4 trang 98 sách giáo khoa Hình học 11

Hai đường thẳng vuông góc

a) Ta có:

$\overrightarrow{CC'}$ . $\overrightarrow{AB}$ = ( $\overrightarrow{AC'}$ – $\overrightarrow{AC}$ ). $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{AC'}$ . $\overrightarrow{AB}$ – $\overrightarrow{AC}$ . $\overrightarrow{AB}$