Hai đường thẳng chéo nhau, hai đường thẳng song song – Sách bài tập Hình Học lớp 11

Hai đường thẳng chéo nhau hai đường thẳng song song

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I .VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có hai trường hợp sau đây xảy ra đối với a va b :

Trường hợp 1 : Có một mặt phẳng chứa a và b.

Xảy ra ba khả năng sau :

1. a và b cắt nhau tại điểm M, ta kí hiệu a ∩ b = M ;

2. a và b song song với nhau, ta kí hiệu a // b hoặc b // a ;

3. a và b trùng nhau, ta kí hiệu a ≡ b

Trường hợp 2 : Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b : khi đó ta nói a và b chéo nhau.

II. CÁC ĐỊNH LÍ VÀ TÍNH CHẤT

1. Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

2. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. (Định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.)

3. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

4. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song)

1. Phương pháp giải

Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của (α) và (β) là đường thẳng Δ đi qua S và song song với d và d’.

2. Ví dụ

Ví dụ. Cho hình bình hành ABCD và S là điểm không thuộc mặt phẳng của hình bình hành. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC).

Giải

Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có điểm chung S và chứa hai đường thẳng song song AD và BC nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua S và song song với AD và BC (h.2.9).

 

 

 

 

Vấn đề 2

Chứng minh hai đường thẳng song song

1. Phương pháp giải

a) Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng và dùng phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong hình học phẳng.

b) Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba.

c) Dùng tính chất : Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng ấy.

d) Dùng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.

2. Ví dụ

Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC ; Q là một điểm nằm trên cạnh AD và P là giao điểm của CD với mặt phẳng (MNQ). Chứng minh rằng PQ // MN và PQ // AC.

Giải

Ba mặt phẳng (ABC), (ACD) và (MNQ) lần lượt cắt nhau theo các giao tuyến AC, MN và PQ.

Vì MN // AC (tính chất đường trung bình của tam giác), nên PQ // MN // AC (theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng) (h.2.10).

Vấn đề 3

Chứng minh hai đưòng thẳng chéo nhau

1. Phương pháp giải

Ta thường dùng phương pháp phản chứng như sau :

Giả sử hai đường thẳng đã cho cùng nằm trong một mặt phẳng rồi rút ra điều mâu thuẫn.

2. Ví dụ

Ví dụ. Cho  là hai đường thẳng chéo nhau. Trên lấy hai điểm phân biệt A và B ; trên  lấy hai điểm phân biệt C và D. Chứng minh rằng AC và ẸD chéo nhau.

Giải

Giả sử AC và BD không chéo nhau.

Như vậy có một mặt phẳng (P) chứa cả và  . Khi đó ta có và cùng nằm trên (P). Điều này mâu thuẫn với giả thiết và  chéo nhau. Vậy AC và BD chéo nhau (h.2.11). 

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

2.10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây :

a) (SAC) và (SBD);

b) (SAB) và (SCD);

c) (SAD) và (SBC).

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.11. Cho tứ diện Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.12. Cho tứ diện ABCD. Cho I và J tương ứng là trung điểm của BC và AC, Mlà một điểm tuỳ ý trên cạnh AD.

a) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (MIJ) và (ABD).

b) Gọi N là giao điểm của BD vói giao tuyến d, K là giao điểm của ỈN và JM. Tìm tập hợp điểm K khi M di động trên đoạn AD (M không là trung điểm của AD).

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABK) và (MIJ).

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.13. Cho tứ diện Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC và BD. Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳng MN, PQ và RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.14. Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và Chứng minh rằng IJ // CD.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.15. Cho hình chóp ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy là AD và BC. Biết AD = a, BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD lần lượt tại P, Q.

a) Chứng minh MN song song với PQ.

b) Giả sử AM cắt BP tại E ; CQ cắt DN tại Chứng minh rằng EF song song với MN và PQ. Tính EF theo a và b.

⇒ Xem đáp án tại đây.