Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ và các phép toán với số thập phân

Đang tải...

Giá trị tuyệt đối

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu |x| là khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 trên trục số.

|x| = x khi x ≥ 0

|x| = -x khi x <0

2. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân

– Để cộng, trừ, nhân, chia số thập phân, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số thập phân rồi làm theo quy tắc các phép tính đã biết về phân số

– Trong thực hành ta thường cộng, trừ, nhân hai số thập phân theo các quy tắc về giá trị tuyệt đối và về dấu tương tự như đối với số nguyên

– Khi chia số thập phân x cho số thập phân y (y ≠ 0), ta áp dụng quy tắc: Thương của hai số thập phân x, y là thương của |x| và |y| với dấu “+” đằng trước nếu x và y cùng dấu và dấu “-” đằng trước nếu x và y trái dấu

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. CÁC BÀI TẬP VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ

Phương pháp giải

– Cần nắm vững định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

|x| = x nếu x ≥ 0;

|x| = -x nếu x < 0.

– Các tính chất rất hay sử dụng của giá trị tuyệt đối:

Với mọi x ∈ Q: |x| ≥ 0 ; |x| = |-x| ; |x| ≥ x

Ví dụ 1. ( ?2 tr.14 SGK)

Tìm |x|, biết:

$a)x = \frac{{ - 1}}{7}$

$b)x = \frac{1}{7}$

$c)x = - 3\frac{1}{5}$

$d)x = 0$

Giải

Ví dụ 2. (Bài 17 tr.15 SGK)

1) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. |-2,5| = 2,5;

B. |-2,5| = -2,5;

C.|-2,5| = -(-2,5)

2) Tìm x, biết:

a) \|x\| = 1/5;	b) x = ±0,37;
c) \|x\| = 0;	d) $d)\|x\| = \pm 1\frac{2}{3}.$

Trả lời

1) Các khẳng định đúng là: a) và c)

a) x = ±1/5;	b) x = ±0,37;
c) x = 0;

Ví dụ 3. (Bài 25 tr.16 SGK)

Tìm x biết:

a) |x – 1,7| = 2,3

b) x = ±1 + 2/3

Giải

a) Bài này có thể giải theo hai cách:

Cách 1: (Căn cứ vào định nghĩa của giá trị tuyệt đối)

– Nếu x – 1,7 ≥ 0 tức là x ≥ 1,7 thì |x – 1,7| = x – 1,7

Trong trường hợp này ta có: x – 1,7 = 2,3

x = 2,3 + 1,7

x = 4 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 1,7)

– Nếu x – 1,7 < 0 tức là x <1,7 thì

|x – 1,7| = -(x – 1,7) = 1,7 – x

Trong trường hợp này ta có :

1,7 – x = 2,3

1,7 – 2,3 = x

x = -0,6 (thỏa mãn điều kiện x < 1,7)

Vậy: x = 4, x = -0,6

Cách 2: (Căn cứ vào tính chất |x| = |-x|)

|x – 1,7| = 2,3 suy ra : x – 1,7 = 2,3 (1) hoặc: -(x – 1,7) = 2,3

tức là x – 1,7 = -2,3 (2)

Từ (1) ta có: x = 2,3 + 1,7 = 4

Từ (2) ta có: x = -2,3 + 1,7 = -0,6

Vậy: x = 4, x = -0,6.

b) Hướng dẫn: Viết |x + 3/4| – 1/3 = 0 thành |x + 3/4| = 1/3 rồi giải bằng một trong hai cách như câu a). Đáp số: x = -5/12; x = -13/12.

Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

A = |x – 1/2|;

B = |x + 3/4| + 2.

Giải

– Với mọi x ∈ Q ta luôn có |x| ≥ 0. Vì vậy: A = |x – 1/2| ≥ 0. Biểu thức A có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x – 1/2 = 0 tức là x = 1/2.

– Ta có |x + 3/4| ≥ 0 nên |x + 3/4| + 2 ≥ 2. Vậy B = |x + 3/4| + 2 có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x + 3/4 = 0 tức là x = -3/4

Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

C = -|x + 2/5|;

D = 5/17 – |3x – 2|.

Giải

– Với mọi x ∈ Q, ta có |x| ≥ 0 nên -|x| ≤ 0. Do đó: C = -|x + 2/5| ≤ 0. Biểu thức C có giá trị lớn nhất là 0 khi x + 2/5 = 0 tức là x = -2/5

– Vì -|3x – 2| ≤ 0 nên 5/17 – |3x – 2| ≤ 5/17. Vậy biểu thức D có giá trị lớn nhất là 5/17 khi 3x – 2 = 0 tức là x = 2/3

Ví dụ 6. Chứng minh rằng với mọi x, y ∈ Q ta luôn có: |x + y| ≤ |x| + |y|

Khi nào ta có đẳng thức?

Giải

Với mọi x ∈ Q ta luôn có x ≤ |x| (dấu bằng xảy ra khi x ≥ 0)

a) Nếu x + y ≥ 0 thì |x + y| = x + y

Vì x ≤ |x|, y ≤ |y| với mọi x, y ∈ Q nên: |x + y| = x + y ≤ |x| + |y|

b) Nếu x + y < 0 thì |x + y| = -(x + y) = -x – y

Mà -x ≤ |x|, -y ≤ |y| nên: |x + y| = -x – y ≤ |x| + |y|

Vậy với mọi x, y ∈ Q ta đều có: |x + y| ≤ |x| + |y|. Dấu bằng xảy ra khi x, y cùng dấu hoặc khi ít nhất một số bằng 0.

Dạng 2. BIỂU DIỄN SỐ HỮU TỈ BẰNG CÁC PHÂN SỐ KHÁC NHAU

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất cơ bản của phân số

– $\frac{a}{b} = \frac{{a.m}}{{b.m}}$ với m ∈ Z và m ≠ 0

– $\frac{a}{b} = \frac{{a:n}}{{b:n}}$ với n ∈ ƯC(a,b)

Ví dụ 7. (Bài 21 tr.14 SGK)

a) Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn cùng một số hữu tỉ:

$\frac{{ - 14}}{{35}};\frac{{ - 27}}{{63}};\frac{{ - 26}}{{65}};\frac{{ - 36}}{{84}};\frac{{34}}{{ - 85}}.$

b) Viết ba phân số cùng biểu diễn số hữu tỉ $\frac{{ - 3}}{7}$

Hướng dẫn

a) Rút gọn các phân số đã cho

Trả lời: Các phân số -27/63 và -36/84 biểu diễn cùng một số hữu tỉ; các phân số -14/35 , -26/65 , 34/-85 biểu diễn cùng một số hữu tỉ

b) Chú ý rằng -3/7 là phân số tối giản nên chỉ cần nhân cả tử và mẫu của nó với cùng một số nguyên khác 0

Dạng 3. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA CÁC SỐ THẬP PHÂN

Phương pháp giải

– Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân chia các số thập phân

– Chú ý vận dụng các tính chất: giao hoán, kết hợp, phân phối,… trong các trường hợp có thể để việc tính toán được nhanh chóng và chính xác.

Ví dụ 8. (Bài 18 tr.15 SGK)

Tính:

a) – 5,17 – 0.469;	b) – 2,05 + 1,73;
c) (- 5,17).( – 3.1);	d) (- 9,18) : 4,25

Đáp số

a) -5,639;

b) -0,32;

c) 16,027

d) -2,16

Ví dụ 9. (Bài 19 tr.15 SGK)

Với bài tập: Tính tổng S = (- 2,3) + (+ 41,5) + (- 0,7) + (- 1,5) hai bạn Hùng và Liên đã làm như sau:

Bài làm của Hùng:

S = (- 2,3) + (+ 41,45) + (- 0,7) + (- 1,5)

= [(- 2,3) + (- 0,7) + (- 1,5)] + 41,5

= (- 4,5) + 41,5

= 37

Bài làm của Liên:

S = (- 2,3) + (+ 41,5) + (- 0,7) + (- 1,5)

= [(- 2,3) + (-0,7)] + [(+ 41,5) + (-1,5)]

= (-3) + 40

= 37

a) Hãy giải thích cách làm của mỗi bạn

b) Theo em nên làm theo cách nào?

Giải

a) Bạn Hùng cộng các số âm với nhau được – 4,5 rồi cộng tiếp với 41,5 để được kết quả là 37.

Bạn Liên đã nhóm từng cặp số hạng có tổng là số nguyên được – 3 và 40 rồi cộng 2 số này được 37.

b) Hai cách làm của hai bạn đều áp dụng các tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng để tính được hợp lý nhưng cách của bạn Liên có thể tính nhẩm nhanh hơn. Do đó nên làm theo cách của bạn Liên

Ví dụ 10. Bài 20 tr.15 SGK)

Tính nhanh:

a) 6,3 + (- 3,7) + 2,4 + (- 0,3);

b) (- 4,9) + 5,5 + 4,9 + (- 5,5);

c) 2,9 + 3,7 + (- 4,2) + (- 2,9) + 4,2;

d) (- 6,5).2,8 + 2,8.(- 3,5).

Hướng dẫn

a) (6,3 + 2,4) + [(-3,7) + (-0,3)];

b) [(-4,9) + 4,9] + [5,5 + (-5,5)];

c) [2,9 + (-2,9)] + [(-4,2) + 4,2] + 3,7;

d) 2,8 + [(-6,5) + (-3,5)] .

Ví dụ 11. (Bài 24 tr.16 SGK)

Áp dụng tính chất các phép tính để tính nhanh:

a) (- 2,5.0,38.0,4) – [0,125.3,15.(- 8)];

b) [(- 20,83).0,2 + (- 9,17).0,2] : [2,47.0,5 – (- 3,53).0,5].

Hướng dẫn

a) [(-2,5.0,4).0,38] – [(-8.0,125).3,15]

Đáp số: 2,77

b) [(-20,83 – 9,17).0,2] : [(2,47 + 3,53).0,5]

Đáp số: -2

Dạng 4. SO SÁNH CÁC SỐ HỮU TỈ

Phương pháp giải

Khi so sánh hai số hữu tỉ cần chú ý:

– Số hữu tỉ dương lớn hơn số 0.

– Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số 0.

– Trong hai số hữu tỉ âm, số nào có giá trị truyệt đối nhỏ hơn thì số đó lớn hơn

– Có thể sử dụng tính chất “bắc cầu” để so sánh.

Ví dụ 12. (Bài 22 tr.16 SGK)

Sắp xếp số hữu tỉ sau theo thứ tự lớn dần:

$0,3;\frac{{ - 5}}{6}; - 1\frac{2}{3};\frac{4}{{13}};0; - 0,875$

Trả lời

Ví dụ 13. (Bài 23 tr.16 SGK)

Dựa vào tính chất “Nếu x < y và y < z thì x < z”, hãy so sánh:

a) $\frac{4}{5}$ và 1,1;

b) -500 và 0,001;

c) $\frac{13}{38}$ và $\frac{{ - 12}}{{ - 37}}$

⇒ Xem đáp án tại đây

Dạng 5. SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI ĐỂ LÀM CÁC PHÉP TÍNH CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP PHÂN

Phương pháp giải

Nắm vững cách sử dụng các nút:

Ví dụ 14. (Bài 26 tr.16 SGK)

Dùng máy tính bỏ túi để tính:

a) (- 3,1597) + (- 2,39);	b) (- 0,793) – (-2,1068);
c) (- 0,5).(- 3,2) + (- 10,1).0,2;	d) 1,2.(- 2,6) + (- 1,4) : 0,7.

Đáp án

a) -5, 5497;

b) 1,3138;

c) -0,42;

d) -5,12.

Xem thêm Bài luyện tập về giá trị tuyệt đối của số hữu tỷ tại đây.

a) \|x\| = 1/5;	b) x = ±0,37;
c) \|x\| = 0;	d) $d)\|x\| = \pm 1\frac{2}{3}.$

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ và các phép toán với số thập phân