Dấu của tam thức bậc hai – Chương IV: Bất đẳng thức. Bất phương trình – Giải bài tập đại số 10

Dấu của tam thức bậc hai. Đại 10

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

a) Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = a, trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0.

b) Dấu của tam thức bậc hai

Cho f(x) = ( a ≠ 0), △ =

Nếu △ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ R.

Nếu △ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x = -b/2a.

Nếu △ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x < x2, trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2 (x1 < x2) là hai nghiệm của f(x).

2. Bất phương trình bậc hai một ẩn

a) Bất phương trình bậc hai

Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng . (hoặc  ≤ 0, ,  ≥ 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a ≠ 0.

b) Giải bất phương trình bậc hai thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = cùng dấu với hệ số a (trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a < 0).

B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK)

Bài 1 (Trang 105, SGK)

a) Ta có: , ∀x vì a = 5 > 0 và △ = 9 – 20 = -11 < 0

b) Đặt f(x) = . Ta có f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 = -1, x2 = 5/2, mà a = -2 < 0; ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Do vậy f(x) < 0 với

c) Ta có:  ≥ 0, ∀x.

d) Đặt f(x) = (2x – 3)(x + 5). Ta có: f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 = -5. x2 = 3/2, mà a = 2 > 0, ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Do vậy f(x) < 0 với -5 < x < 3/2

f(x) > 0 với

Bài 2 (Trang 105, SGK)

a) f(x) = (

b) f(x) =

c)

d) 

Bài 3 (Trang 105, SGK)

a) Tam thức f(x) = có △ = 1 – 16 = -15 < 0, mà ta có hệ số a = 4 > 0 ⇒ f(x) > 0, ∀x. Vậy bất phương trình vô nghiệm.

b) Tam thức f(x) = có hai nghiệm x1 = -1; x2 = 4/3, mà ta có hệ số a = -3 < 0 ⇒ f(x) ≥ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 4/3. Vậy nghiệm của bất phương trình là -1 ≤ x ≤ 4/3.

Dựa vào bảng xét dấu ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là:

d) Ta có tam thức f(x) = có hai nghiệm x1 = -2, x2 = 3, hệ số a = 1 > 0 nên f(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ [-2; -3].

Bài 4 (Trang 105, SGK)

a) Với m – 2 =0 ⇔ m = 2, phương trình trở thành 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2, suy ra m = 2 không thỏa mãn điều kiện bài ra.

Với m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2: phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi.

△’ < 0 ⇔  ⇔  ⇔ m > 3 hoặc m < 1.

Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình đã cho vô nghiệm khi m > 3 hoặc m < 1.

b) Với 3 – m = 0 ⇔ m = 3, phương trình trở thành -12x + 5 = 0 ⇔ x = 5/12, suy ra m = 3 không thỏa mãn điều kiện bài ra.

Với 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3: phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:

△’ < 0 ⇔  ⇔  ⇔ -3/2 < m < -1.

Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình đã cho vô nghiệm khi -3/2 < m < -1.