Đáp án Bài5 tuyển sinh toán THPT Chuyên Toán Quốc học Huế 2008 2009 

Đáp án bài 5 Toán năm 2008 – 2009 Chuyên toán Huế.

Bài 5 : 

Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác vuông ABC, c là cạnh huyền.

Ta có  +  = ; a, b, c e N*, diện tích tam giác ABC là S  = ab / 2Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12.

+ Chứng minh ab chia hết 3

Nếu cả a và b đồng thời không chia hết cho 3 thì + chia 3 dư 2.

Suy ra số chính phương  chia 3 dư 2, vô lý.

+ Chứng minh ab chia hết 4

– Nếu a, b chẵn thì ab chia hết 4.

– Nếu trong hai số a, b có số lẻ, chẳng hạn a lẻ.

Lúc đó c lẻ. Vì nếu c chẵn thì :4, trong lúc  +không thể chia hết cho 4.

Đặt a = 2k + 1, c = 2h + 1, k, h ∈ N. Ta có:

 = –  = 4(h-k)(h + k + 1) = 4(h-k)(h-k + 1) + 8k(h-k) chia hết cho 8  Suy ra b chia hết cho 4.

Nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành 6 phần bằng nhau, nối các điểm chia với C thì tam giác ABC được chia thành 6 tam giác, mỗi tam giác này có diện tích bằng ab / 12 là một số nguyên.