Đáp án Bài 5 đề tuyển sinh THPT Toán Chuyên Quốc học Huế 2010-2011. 

Đáp án bài 5 Toán năm 2010 -2011 Chuyên Huế. 

Bài 5:

a) Tìm tất cả các bộ số (a; b; c) gồm các chữ số a, b, c khác, nhau và khác 0 sao cho đẳng thức: ab/ca = b/c(1) đúng.

Viết lại (1): (10a + b)c = (10c + a)b <=> 2.5.c(a  – b) = b(a – c).

Suy ra: 5 là ước số của b(a – c).

Do 5 là số nguyên tố và 1 ≤ a, b, c ≤ 9;  a  ≠  c nên:

hoặc b = 5 hoặc a – c = 5  hoặc c -a = 5

+ Với b = 5: 2c(a – 5) = a – c <=> c = a/(2a-9) <=> 2c = 1+ 9/(2a – 9) 

Suy ra: 2a – 9 = 3; (a ≥ 5, do a ≥ c)

Trường hợp này tìm được: (a; b; c) = (6; 5; 2), (9; 5; 1)

+ Với a = c + 5: 2c(c + 5 – b) = b 

Viết lai: 2b = 2c + 9 – 9 /( 2c+1) 

Suy ra: 2c + 1 = 3; 9 (c ≥ 0).

Trường hợp này tìm được: (a; b; c) = (6; 4; 1), (9; 8; 4).

+ Với c = a + 5: 2(a + 5)(a – b) = – b 

Viết lai: 2b = 2a + 19 + (9×9)/ (2a-9) Suy ra: b > 9, không xét.

Vậy các bộ số thỏa bài toán: (a; b; c) = (6; 5; 2), (9; 5; 1), (6; 4; 1), (9; 8; 4).

b) Từ giả thiết số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai góc còn lại, suy ra tam giác đã cho có ít nhất một góc bằng 60°.

Ví dụ: Từ 2A = B + C suy ra 3A = A + B + C = 180°. Do đó A = 60°.

Suy ra tam giác đã cho là tam giác cân.

Thật vậy, bình phương các vế của (*):

Vì vậy tam giác này có a = c hoặc b = c.

Tam giác đã cho là tam giác cân và có góc bằng 60° nên là tam giác đều.