Đáp án Bài 4 Đề thi vào lớp 10 Toán Chuyên Thái Bình 2010 – 2011

Đáp án Bài 4 Đề thi vào lớp 10 Toán Chuyên Thái Bình 2010 – 2011

Bài 4 : 

1) Từ giả thiết ta có: góc IPA + góc INA = 180°

=>Tứ giác IPAM nội tiếp =>góc IPN = góc LAN (cùng chắn cung IN) (1)

Lại do góc IPB = góc IMB =90°=> Bốn điểm I, P, M, B nằm trên đường tròn đường kính BI

=> góc MPI + góc IBM = 180°

Vì I ∈ (O) => góc CAI + góc IBM = 180°

Từ (2) và (3) => góc MPI = CAI

Từ (4) và (1) => góc MPI + góc IPN = góc CAI + góc IAN = 180°

Vậy M, P, N thẳng hàng.

2)Theo chứng minh trên ta có:

góc IBA = góc IMN

(góc nội tiếp cùng chắn cung IP của đường tròn qua 4 điểm I, B, M,  P)

góc INM = góc IAB       (6)

(góc nội tiếp cùng chắn cung IP của  đường tròn qua 4 điểm I, N, A,  P)

Từ (5) và (6) => ΔIMN ∼ ΔIBA

=> MN / BA = IM / IB = IN / IA ≤ 1 => MN ≤ AB 

<=>  CI là đường kính của (O) .Vậy MN nhỏ nhất bằng AB <=> I đối xứng với C qua O.

3)

Chứng minh được góc B’GB = góc C’FC, suy ra ΔBB’G ∼ ΔCCF (g – g)  

=> BB’ / CC’ = BG / CF (8)

Ta lại có:   BG / CF = BE / CE = B’Q / QC’   (9)

Từ (8) và (9) suy ra BB’ / CC’ = B’Q / QC'(10)

Từ (8) và (10) => GÓC BB’Q ∼  ΔCC’Q (c-g-c)

=> góc BQB’ = góc OQC’ => góc BQE = góc CQE

Vậy QE là tia phân giác của góc BQC.