Đáp án bài 4 đề thi Toán vào lớp 10 Chuyên THPT năng khiếu 2010 -2011

Đáp án bài 4 đề thi Toán vào lớp 10 Chuyên THPT năng khiếu 2010 -2011

Bài 4 : 

a) Ta có góc AKC  = góc AFC (cùng chắn cung AC)

Mặt khác góc AFC = góc  FCA (do F đối xứng C qua AB) và = 90° – A nên ta có = 90° – A.

Hoàn toàn tương tự, ta có  = 90° – A.

Suy ra  = 180° – 2A. Suy ra K luôn thuộc cung chứa góc nhìn đoạn BC dưới góc 180° – 2A.

b) * Tam giác KBC có đáy BC = R không đổi và K nằm trên cung chứa góc 180° – 2A nên diện tích tam giác KBC lớn nhất khi K là điểm giữa K₀ của cung chứa góc, tức là tam giác KBC cân tại K.

Khi đó A chính là trung điểm cung lớn BC.

*Để tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác KoBC, ta chú ý rằng vì BC =  nên A = 60°.

Suy ra = 180° – 2A = 60°. Suy ra tam giác KoBC là tam giác đều có cạnh BC = R. .

Vậy diện tích lớn nhất bằng ( 3.)/ 4

c) Kéo dài AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE tại C’. Khi đó AC’ là đường kính.

Tương tự, kéo dài AB cắt đường tròn ngoại tiếp ACF tại B’ thì AB’ là đường kính.

Suy ra AK, C’C, B’B là các đường cao trong tam giác AB’C\ Suy ra tứ giác B’BCC’ nội tiếp và ta có: góc AC’B’ = góc  ABC.

Ta có: góc BAH = 90° –  = 90° –  =  =

Mặt khác theo chứng minh ở phần 1, ta có:

=  = 

Từ đây suy ra tam giác ABH đồng dạng với tam giác AKC.

Vì  =  nên ta có AK đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp O của tam giác ABC (đpcm).