Đáp án bài 2 đề thi Toán vào lớp 10 Chuyên THPT năng khiếu 2010 -2011

Jan 27th, 2018 · 0 Comment

Đang tải...

Đáp án bài 2 đề thi Toán vào lớp 10 Chuyên THPT năng khiếu 2010 -2011

Bài 2 :

a) Điều kiện: $x^2$ – x – 2 ≥ 0 <=> x ≤ – 1 ∨ x ≥ 2

Ta biến đổi phương trình về dạng:

Đặt t = $\sqrt { x^2 - x - 2}$ ≥ 0 thì $t ^2$ = $x ^2$ – x – 2. Thay vào phương trình, ta được: $t ^2$ + 2-3t = 0 <=> t = 1∨ t = 2

Với t = 1, ta được $x ^2$ – x – 3 = 0, suy ra x = ( 1 ± $\sqrt {3}$ ) / 2

Với t = 2, ta được $x ^2$ – x – 6 = 0, suy ra x = – 2, x = 3 Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có 4 nghiệm là: x = – 2, x = 3, x = ( 1 ± $\sqrt {3}$ ) / 2

b) Đặt AB = a, AC = b thì theo điều kiện đề bài, ta có ab =2

Ngoài ra, theo định lý Pythagore, ta có BC = $\sqrt { a ^2 + b ^2 }$

Vế thứ nhất của bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại:

$\sqrt {2ab}$ ≤ $\sqrt { a ^2 + b ^2 }$ <=> $a^2$ + $b^2$ ≥ 2ab <=> ${(a - b )}^2$ ≥ 0

Vế thứ hai của bất đẳng thức có thể viết lại thành:

$\sqrt { a ^2 + b ^2 }$ + 2 ≤ $\sqrt {2}$ (a + b)

$a^2$ + $b^2$ ≤ 2 ( $a^2$ + $b^2$ + 2ab)

<=> $a^2$ + $b^2$ – 4 $\sqrt { a ^2 + b ^2 }$ + 4 ≥ 0 <=> ( ${ \sqrt {a ^2 + b ^2} - 2 ) ^2 }$ ≥ 0

Bất dẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng.

Như vậy ta có 2 ≤ BC ≤ $\sqrt {2}$ ( AB + AC – $\sqrt {2}$ ).

Đang tải...

Bài tập Đại số 9: Liên hệ giữa phép nhân chia và khai phương