Các bài toán về vị trí tương đối của hai đường tròn – Đường tròn – Ôn thi vào lớp 10 – Hình học

Bài toán về vị trí tương đối hai đường tròn

I. Hướng dẫn giải

Muốn xét vị trí tương đối của hai đường tròn 

II. Bài tập mẫu

Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Chứng minh hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác BDHF và CDHE cắt nhau.

Giải

AD, CF là đường cao của tam giác ABC nên góc BDH bằng , góc BFH bằng .

Suy ra đường tròn ngoài tiếp tứ giác BDHF là đường tròn:

AD, BE là đường cao của tam giác ABC nên góc CDH bằng , góc CEH bằng

Suy ra đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE là đường tròn:

Bài 2. Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm A cố định bên trong đường tròn (O). Gọi M là điểm di động trên đường tròn (O), đường trung trực của dây AM cắt (O) tại P và P’.

a. Chứng tỏ tập hợp các hình chiếu của O lên PP’ là đường tròn (I).

b. Chứng tỏ đường tròn (I) và đường tròn (A, R) đựng nhau.

Giải

a. Gọi N là trung điểm của AM

I là trung điểm của AO

△AOM có IN là đường trung bình nên:

Gọi J là hình chiếu của O lên PP’ 

OJ // AN ⇒ Tứ giác AOJN là hình thang vuông 

Vậy tập hợp các hình chiếu J của O lên PP’ là đường tròn 

b. Ta có:

III. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, AC = 12cm. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (B, 6cm) và (C, acm), (a ϵ R) theo a.

Bài 2. Cho tam giác OAO’ vuông tại A có OA = 6cm, O’A = 8cm. Chứng minh đường tròn

(O, 5cm) và đường tròn (O’, cm) cắt nhau tại hai điểm M và N. Tính độ dài MN.

Bài 3. Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. Xác định vị trí tương đối giữa các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).

Bài 4. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc ngoài nhau cố định. Bán kính OA quay quanh O, bán kính OA’ quay quanh O’ sao cho OA luôn song song với O’A’. Gọi M là trung điểm của AA’.

Bài 5. Cho tam giác ABC có AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a. Đường trung trực của AC cắt đường phân giác của góc BAC tại K. Đường tròn tâm K tiếp xúc với đường thẳng AB. Chứng minh rằng đường tròn (K) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp △ABC.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a và AC = 2a/3. Xác định bán kính của đường tròn tâm C để đường tròn này tiếp xúc với đường tròn (O’) tại M’.

a. Chứng minh các đường thẳng vuông góc với d tại M và M’ đi qua các điểm N và N’ cố định và thẳng hàng với B.

b. Chứng minh trung điểm I của NN’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’).

Xem thêm đáp án bài tập vận dụng tại đây.