Bất phương trình, hệ phương trình bậc nhất một ẩn - Chương IV: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Giải bài tập đại số 10

Đang tải...

Bất phương trình, hệ phương trình bậc nhất một ẩn

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Khái niệm bất phưong trình một ẩn

a) Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

f(x) < g(x) (f(x) ≤ g(x)) (1)

Trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x.

Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của bất phưong trình (1).

Số thực x0 sao cho f(x₀) < g(x₀) (f(x₀) < g(x₀₎) !à mệnh đề đúng được gọi

là một nghiệm của bất phương trình (1). Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi ttập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.

b) Điều kiện của một bất phương trình

Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1).

c) Bất phương trình chứa tham số

Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó.

2. Hệ bất phương trình một ẩn

Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.

3. Một số phép biến đổi bất phưong trình

a) Bất phương trình tương đương

Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “⇔” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm, ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu “⇔” để chỉ sự tương đương đó.

b) Phép biến đổi tương đương

Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.

c) Cộng (trừ)

Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

P(x) < Q(x) ⇔ P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

Nhận xét: Nếu cộng hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) + f(x) với biểu thức

-f(x) ta được bất phương trình P(x)—f(x) <Q(x).

Do đó: P(x)<Q(x) + f(x)⇔P(x) – f(x) < Q(x).

d) Nhân (chia)

Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đối chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) < Q(x).f(x) nếu f(x) > 0, ∀x.

P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) > Q{x).f(x) nếu f(x) < 0, ∀x.

e) Bình phương

Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương.

P(x) < Q(x) ⇔ $P^2(x) < Q^2(x)$ nếu P(x) > 0, Q(x) > 0, ∀x.

f) Chú ý:

– Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy, đế tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thoả mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.

– Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) với biểu thức f(x) ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của f(x). Nếu f(x) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình.

– Khi giải bất phương trình P(x) < Q(x) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp:

+ P(x), Q(x) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình.

+ P(x), Q(x)cùng có giá trị âm ta viết:

P(x) < Q(x)⇔ — Q(x) < – P(x) rồi bình phương hai vế bất phương trình mới.

B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK)

Bài 1 (Trang 87, SGK)

a) Điều kiện:

Bất phương trình, hệ phương trình bậc nhất một ẩn

b) Điều kiện:

Bất phương trình, hệ phương trình bậc nhất một ẩn

c) Điều kiện: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ -1 ≠ x ∈ R \ {-1}.

d) Điều kiện:

Bất phương trình, hệ phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 2 (Trang 88, SGK)

a) Vì $x^2$ ≥ 0 và $\sqrt {x+8}$ ≥ 0, ∀x ≥ -8 nên $x^2 + \sqrt {x+8}$ ≥ 0, ∀x ≥ -8 (dpcm).

b) Vì $\sqrt {1+2(x-3)^2}$ ≥ 1 với mọi x và $\sqrt {5-4x+x^2} = \sqrt {1+(x-2)^2}$ ≥ 1 với mọi x, nên $\sqrt {1+2(x-3)^2} + \sqrt {5-4x+x^2 }$ ≥ 2, ∀x ∈ R (dpcm).

c) Vì $\sqrt {1+x^2} < \sqrt {7+x^2}$ nên $\sqrt {1+x^2} + \sqrt {7 + x^2}$ , ∀x ∈ R (dpcm).

Bài 3 (Trang 88, SGK)

a) -4x + 1 > 0 và 4x -1 < 0 là tương đương vì: ta nhân hai vế của bất phương trình -4x + 1 > 0 với -1 và đổi chiều dấu bất phương trình ta được 4x – 1 < 0.

b) $2x^2 + 5$ ≤ 2x – 1 và $2x^2 - 2x + 6$ ≤ 0 là tương đương vì: ta chuyển và đổi dấu các hạng tử của bất phương trình $2x^2 + 5$ ≤ 2x – 1 ta được $2x^2 -2x + 6$ ≤ 0.

c) x +1 > 0 và

Bất phương trình, hệ phương trình bậc nhất một ẩn

là tương đương vì: cộng hai vế của bất phương trình x + 1 > 0 với biểu thức

Bất phương trình, hệ phương trình bậc nhất một ẩn

không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được bất phương trình:

Bất phương trình, hệ phương trình bậc nhất một ẩn

d) $\sqrt {x -1}$ ≥ x và (2x+1) $\sqrt {x-1}$ ≥ x(2x + 1) là tương đương vì: Hai bất phương trình có điều kiện chung là x ≥ 1. Trên tập các giá trị này của x thì biểu thức 2x +1 > 0 nên nhân hai vế của bất phương trình thứ nhất với biểu thức 2x +1 ta được bất phương trình (2x+1) $\sqrt {x-1}$ ≥ x(2x + 1).