Bất đẳng thức – Chương IV: Bất đẳng thức. Bất phương trình – Giải bài tập đại số 10

Bất đẳng thức. Chương IV, Đại số 10

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Ôn tập bất đẳng thức

a) Khái niệm bất đẳng thức

Các mệnh đề dạng “a < b” hoặc “a > b” được gọi là bất đẳng thức.

b) Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

– Nếu mệnh đề “a > b ⇒ c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a < b ⇒ c < d.

– Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b ⇔ c < d.

c) Tính chất của bất đẳng thức

2. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức Cô – si)

a) Bất đẳng thức Cô – si

Định lí: Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.

Đẳng thức

xảy ra khi và chỉ khi a = b.

b) Các hệ quả

– Hệ quả 1: Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

– Hệ quả 2: Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

– Hệ quả 3: Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

Ý nghĩa hình hoc: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

3. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK)

Bài 1 (Trang 79, SGK)

Khẳng định đúng với mọi giá trị của x là (d).

a) Đúng với x > 0;

b) Đúng với x < 0;

c) Đúng với x ≠ 0;

d) Đúng với mọi giá trị của x.

Bài 2 (Trang 79, SGK)

Với x > 5 ⇒ 5/x < 1 do vậy 5/x – 1 < 0 còn A > 0; B > 0; D > 0 nên C nhỏ nhất.

Bài 3 (Trang 79, SGK)

a) Ta có:

Theo bài ra ta có a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:

a + c > b; b + a > c ⇒ b – c – a < 0; b – c + a > 0. Do vậy hay (dpcm).

b) Từ câu (a) tương tự ta có các bất đẳng thức: ; ; .

Cộng các vế của ba đẳng thức trên ta được:

⇔

⇔ (dpcm).

Bài 4 (Trang 79, SGK)

Ta có

 ≥

=

Vì x ≥ 0, y ≥ 0 nên ≥ 0 hay  ≥ 0

Vậy  ≥ , ∀y ≥ 0.

Dấu “=” xảy ra khi x = y ≥ 0.

Bài 5 (Trang 79, SGK)

Đặt = t ( t ≥ 0), ta có:

– Với 0 ≤ x < 1 thì 0 ≤ t < 1 và .

– Với x ≥ 1 thì t ≥ 1 và

Vậy, , ∀x ≥ 0 (dpcm).

Bài 6 (Trang 79, SGK)

Gọi H là tiếp điểm của AB với đường tròn tâm O bán kính J. Vậy, ta có:

HA.HB = = 1.

AB = HA + HB ≥ 2 ⇒ AB ≥ 2.

AB = 2 ⇔ HA = HB ⇔ △OAB vuông cân ở O.

⇔ Các tam giác OHB và OHA vuông cân tại H, có cạnh góc vuông bằng 1.

⇔ OA = OB = .

Vậy, đoạn AB có độ dài nhỏ nhất khi A(; 0) và B(0; ).