Hướng dẫn giải bài 8 trang 49 sách giáo khoa giải tích 12

Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Giả sử ta có mặt cầu (C) tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA, AC, BD của tứ diện ABCD theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q, R, S. Ta có:

AM = AR = AQ;                                                                  

BM = BN = BS;

CN = CP = CR;

DP = DQ = DS;

=> AM + MB + CP + PD = AQ + BN + CN + DQ  

= AR + BS + CR + SD

=> AB + CD = AD + CB = AC + BD

Khi đó tổng các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau (đpcm).