Hướng dẫn giải bài 5 trang 92 sách giáo khoa Hình học 12

Bài 5 trang 92 sách giáo khoa Hình học 12

 Cho mặt cầu(S) có phương trình  +  +  = 100 và mặt phẳng (α) có phương trình 2x – 2y – z + 9 = 0. Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C).

Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm I(3; -2; 1) và bán kính  = 100 <=> r = 10.

Đường tròn (C) là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (α). (C) có tâm J là hình chiếu vuông góc tâm I của mặt cầu (S) trên mặt phẳng (α). Nói cách khác, J là giao điểm của mặt phẳng (α) với đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (α).

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến = (2; -2; -1).

Đường thẳng d vuông ‘góc với (α) nên d nhận làm vectơ chỉ phương. Mà d đi qua điểm I(3; -2; 1) nên phương trình tham số của đường thẳng d là:

Muốn tìm giao điểm J của d và (α), ta thế các biểu thức của x, y, z theo t trong phương trình tham số của d vào phương trình mặt phẳng (α). Khi đó ta có:

2(3 + 21) – 2(-2 – 2t) -1(1 -1) + 9 = 0

<=> 6 + 4t + 4 + 4t – 1 + t + 9 = 0

<=> t = -2

Thay giá trị t = -2 vào phương trình tham số của d, ta được toạ độ của giao điểm J, tức là toạ độ của tâm đường tròn giao tuyến (C).

Gọi A là một điểm thuộc đường tròn (C).

 Ta có: IA là bán kính mặt cầu (S) => IA = 10.

JA là bán kính đường tròn (C) =  JA = r.

IJ là khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (α).

Vì IJ ⊥ (α) nên IJ ⊥ AJ. Do đó, tam giác IJA vuông tại J.

Xét tam giác IJA, theo định lí Pi-ta-go ta có:

Vậy đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu (S) và mặt phẳng (α) có tâm J(-l; 2; 3) và có bán kính r = 8.