Hướng dẫn giải bài 5 trang 90 sách giáo khoa Hình học 12

Bài 5 trang 90 sách giáo khoa Hình học 12

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:

Hướng dẫn giải

a) Cách 1:

Thay các toạ độ x; y; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:

3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 +1) – 2 = 0 <=> 26t + 78 = 0 <=> t = -3.

Khi đó d ∩ (α) = M(0; 0; -2).

Trong trường hợp này đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại một điểm M(0; 0; -2) duy nhất.

Cách 2:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương  = (4; 3; 1). Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến = (3; 5; -1).

Xét thấy .  = 4.3+3.5 + 1 .(-1) = 26 ≠ 0.

Vậy d không song song với (α) nên d cắt (α) tại một điểm duy nhất.

b) Cách 1:

Thay toạ độ x; y; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:

(1+1) + 3(2 — t) + (1 + 2t) + 1 = 0

<=>0.t + 9 = 0<=>9 = 0 (vô nghiệm).

Chứng tỏ d và (α) không cắt nhau hay d // (α).

Cách 2:

Đường thẳng d đi qua điểm M(l; 2; 1) và có vectơ chỉ phương =(1; -1; 2). Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến = (1; 3; 1).

Ta có: .  = 1- 3 + 2 = 0. Mà M ∉ (α).

Từ đó suy ra d // (α) hay là đường thẳng d và mặt phẳng (α) không có điểm chung,

c) Cách 1:

Thay toạ độ x; y; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:

(1+1) + (1+2t) + (2-3t) -4 = 0

<=> o.t + 0 = 0 (phương trình này có vô số nghiệm).

Vậy d nằm trên (α) hay d và (α) có vô số điểm chung.

Cách 2:

Đường thẳng d đi qua điểm N(l; 1; 2) và có vectơ chỉ phương = (I; 2; -3). Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến = (1; 1; 1).

Ta có . = 1 + 2 – 3 = 0. Mà N ∈ (α).

Từ đó suy ra đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (α) hay d và (α) có vô số điểm chung.