Hướng dẫn giải bài 5 trang 80 sách giáo khoa Hình học 12

Bài 5 trang 80 sách giáo khoa Hình học 12

Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (ACD) chứa hai đường thẳng AC và AD.

Đường thẳng AC là giá của = (0; -1; 1).

Đường thẳng AD là giá của = (-1; -1; 3).

Nếu gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ACD) thì  ⊥ và ⊥ . Do đó, ta có thể chọn là vectơ tích có hướng của và . = [, ].

    = (0;-1;1);  = (-1; -1; 3) => = (-2; — 1; -1).

Mặt phẳng (ACD) đi qua điểm A(5; 1; 3) và có vectơ pháp tuyến = (-2; – 1; – 1) nên có phương trình:

(ACD): -2(x – 5) – l(y -1) – l(z – 3) = 0.

<=> -2x + 10 – y + 1 – z + 3 = 0

<=>-2x -y-x+14 = 0<í=>2x + y + z-14 = 0.

Tương tự như trên, mặt phẳng (BCD) chứa các giá của hai vectơ BC và BD.

Nếu gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) thì = [, ]

Với B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) ta tính được:

= (4;-6; 2) ; = (3; -6; 4) => = (-12;-10;-6).

Suy ra mặt phẳng (BCD) đi qua B và có vectơ pháp tuyến = (-12; -10; -6) nên mặt phẳng (BCD) có phương trình là:

(BCD): -12(x -1) – 10(y – 6) – 6(z – 2) = 0

<=> -12x + 12 – lOy + 60 – 6x + 12 = 0

<=> -12x – lOy – 6z + 84 = 0

<=>   6x + 5y + 3z – 42 = 0

Gọi  là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) cần tìm.

Vì (α) chứa AB và song song với CD nên dễ thấy  ⊥ AB và ⊥ CD. Do đó, ta có  thể chọn là vectơ tích có hướng của hai vectơ  và .  = [, ].

Mặt phẳng (α) chưa AB nên chứa điểm A(5; 1; 3) và có vectơ pháp tuyến  = (10; 9; 5) nên (α) có phương trình là:

(α) :10(x -5) + 9(y – 1)+5(z – 3) = 0 <=> 10x + 9y + 5z – 74 = 0