Hướng dẫn giải bài 5 trang 68 sách giáo khoa Hình học 12

Bài 5 trang 68 sách giáo khoa Hình học 12

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau đây:

a)  +  +  – 8x – 2y + 1 = 0

b)  +  +  – 6x + 8y + 15z – 3 = 0

 Hướng dẫn giải 

Phương trình mặt cầu có dạng:

        +  + + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0

Với ++ – D > 0 thì có tâm I(-A; -B; -C) và có bán kính r = .

Ta có:

        2A = -8=>-A = 4; 2B=-2=>-B = l; 2C=0=>C = 0;D= 1.

       => I(4; 1; 0) và r = 4.

Vậy mặt cầu có tâm I(4; 1 ; 0) và bán kính r = 4.

    Chú ý:

       Ta có thể đưa phương trình mặt cầu về dạng:

        +  +  = .

       Để có tâm I(a; b; c). Muốn vậy ta sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để chuyển các bình phương thiếu trở thành các bình phương của nhị thức.

       Ta có:  +  +  -8x -2y + 1 = 0 4=>  -8x +  -2y +  + 1 = 0.

         Ta nhận thấy  – 8x là một bình phương thiếu nên ta thêm và bớt đi một hạng tử thứ ba để làm xuất hiện một bình phương của nhị thức:

        – 8x =  – 8x+ 16-16 =  – 16.

Tương tự như vậy ta có:

         – 2y =  – 2y +1 – 1 =  – 1.

Như vậy phương trình mặt cầu sẽ trở thành:

           -16+  – 1 +  +1 = 0                   

          <=> +  +  = 16.

Từ đó suy ra tâm I(4; 1; 0) và bán kính r = = 4.

Trước hết ta đưa về dạng quen thuộc bằng cách chia cả hai vế cho 3:

    3 + 3 + 3 – 6x + 8y + 15z – 3 = 0

    <=>  +  +  – 2x + y + 5z – 1 = 0.

Khi đó ta có:

     2A = -2 <=> -A = 1; 2B =  <=> -B = –

      2C = 5<=> -C = –; D = -1.

Như vậy I(1; –; –) và bán kính r là: