Hướng dẫn giải bài 5 trang 49 sách giáo khoa giải tích 12

Bài 5 trang 49 sách giáo khoa giải tích 12

Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu (O; R), vẽ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.

a) Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD

b) Gọi MO = d. Tính MA.MB theo R và d.

Hướng dẫn giải

a) Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đã cho. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S(O; r) theo một đường tròn tâm I, là hình chiếu vuông góc của o lên mặt phẳng (P).

Xét hai tam giác MAD và MCB có B = D, M chung nên hai tam giác trên đồng dạng với nhau.

           MA.MC = MD.MB   => MA.MB = MC.MD.

b) Đặt MO = d. Ta có OI ⊥ (P).

     Chú ý:

     Có thể áp dụng kiến thức về phương tích của một điểm đối với một đường tròn. Ta có thể áp dụng để tìm ra kết quả ngắn gọn hơn theo cách sau:

Xét mặt phẳng (P) qua A, B và tâm O của mặt cầu; (P) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn (C) bán kính r. Khi đó: