Hướng dẫn giải bài 4 trang 50 sách giáo khoa Hình học 12

Bài 4 trang 50 sách giáo khoa Hình học 12

Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC. Mặt cầu này còn tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh.

Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Hướng dẫn giải

Gọi M, N, P theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh SA, SB, SC còn D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA, các điểm D, E, F đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh AB, BC, CA. Ta có:

AD = AF => AB = AC

BD = BE => BC = AB

=> AB = BC = AC

Tam giác ABC là tam giác đều.                                                    (1)

Mặt khác:   + AM = AD;BN = BD = AD 

                   + SM = SN = SP 

            => SM + AM = SN + NB.

Chứng minh tương tự ta có SA = SB = SC.

Gọi H là chân đường cao của hình chóp hạ từ đỉnh s, ta có:

ΔSHA = ΔSHB = ΔSHC

=> HA = HB = HC. => H là tâm của tam giác đều ABC.              (2)

Từ (1) và (2) suy ra hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều.