Hướng dẫn giải bài 4 trang 49 sách giáo khoa giải tích 12

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.

Hướng dẫn giải

     Giả sử mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lần lượt tại A’, B’, C’. Gọi I là hình chiếu của tâm O trên mặt phẳng (ABC).

     Vì BC ⊥OA’ nên BC ⊥ (OIA’). Do đó BC ⊥ IA’.

     Chứng minh tương tự ta có: IB’ ⊥ AC, IC’⊥ AB.

     Vì OA’ = OB’ = OC’ = r nên IA’ = IB’ = IC’ = r’ không đổi (vì  ).

     Từ đó suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Vậy tâm O của mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC luôn luôn thuộc trục d của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng d này vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm I của đường tròn nội tiếp nói trên.

     Ngược lại, lấy điểm o thuộc trục d của đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì ta có IA’ = IB’ = IC’. Từ đó suy ra OA’ = OB’ = oc’ = r không đổi. Do đó mặt cầu S(0; r) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC.

     Vậy tập hợp tâm những mặt cầu cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước là trục của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.