Hướng dẫn giải bài 3 trang 50 sách giáo khoa Hình học 12

Một hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Chứng minh rằng hình chóp đó nội tiếp được trong một mặt cầu (các đỉnh của hình chóp nằm trên mặt cầu).

Hướng dẫn giải

     Giả sử ta có hình chóp S.ABCD… có các cạnh bên SA = SB = SC = SD = … Kẻ SH ⊥ (ABCD…). Ta chứng minh được  ΔSHA = ΔSHB = ΔSHC = ΔSHD…, suy ra HA = HB = HC = HD = … Do đó đáy AB CD..của hình chóp nội tiếp trong một đường tròn và chân H của đường cao SH là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dễ thấy, mọi điểm nằm trên đường cao SH đều cách đều các đỉnh A, B, C, D,…, của đáy.

     Trong tam giác SAH chẳng hạn, ta kẻ đường trung trực của cạnh SA, đường này cắt SH tại I. Có thể thấy IS = IA = IB = IC = ID ..hay điểm I cách đều các đỉnh của hình chóp và do đó I là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp.