Hướng dẫn giải bài 3 trang 49 sách giáo khoa giải tích 12

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn chứa một đường tròn cố định cho trước.

Hướng dẫn giải

        Phần thuận:

        Gọi đường tròn (C), tâm I là đường tròn cố định cho trước. Trên (C) ta lấy ba điểm A, B, c. Mặt cầu tâm o bán kính r qua (C) khi và chỉ khi OA = OB = OC hay tâm O của mặt cầu nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

        Trục này là đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (C) tại tâm I của đường tròn (C).

Phần đảo:

        Ngược lại, nếu ta lấy một điểm O’ bất kì trên trục d thì với mọi điểm M bất kì trên đường tròn (C) tâm I bán kính r’ cho trước, ta đều có độ dài của đoạn thẳng  luôn không đổi.

Như vậy đường tròn (C) luôn luôn thuộc mặt cầu có tâm 0′ nằm trên trục d.

         Kết luận:

        Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn cho trước trên tại tâm của đường tròn đó.