Hướng dẫn giải bài 12 trang 93 sách giáo khoa Hình học 12

Bài 12 trang 93 sách giáo khoa Hình học 12

Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A(1; -2; -5) qua đường thẳng có phương trình (d):

Hướng dẫn giải

    Đầu tiên, ta tìm điểm H, hình chiếu vuông góc của điểm Δ trên đường thẳng Δ.

Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương = (2; -1; 2).

Điểm H thuộc Δ nên H có toạ độ là (1 + 2t; -1 -1; 2t).

Từ đó suy ra:

= (1 + 2t – 1; -1 – t + 2; 2t + 5) = (2t; 1 – t;  2t + 5)

Để H là hình chiếu của A trên Δ thì AH ⊥ Δ. Khi đó:

⊥  <=> . = 0 <=> 9t + 9 = 0 <=> t = -1.

Do vậy toạ độ của điểm H là:

A và A’ đối xứng với nhau qua đường thẳng Δ nên H là trung điểm của đoạn thẳng AA’. Suy ra = 2.

Gọi (x; y; z) là toạ độ của A’. Ta có:  = (x – 1; y + 2; z + 5)

Mặt khác A(1; -2; -5), H(-1;  0; -2) nên = (-2; 2; 3).

Theo trên thì = 2 nên ta có hệ sau:

 

Chú ý:

Ta có thể tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng Δ bằng cách xem H là giao điểm của Δ với mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với Δ. Với cách làm này, ta cần thực hiện hai bước như sau:

– Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với A;

– Tìm toạ độ giao điểm H của (α) và Δ.

Đối với bài này, ta có:

Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương = (2;—1; 2).

Mặt phẳng (α) vuông góc với A nên nhận làm vectơ pháp tuyến.

Mà (α) đi qua điểm A(1; -2; -5) nên (α) có phương trình là:

2(x – 1) – 1(y + 2) + 2(z + 5) = 0 <=> 2x – y + 2z + 6 = 0.

Để tìm giá trị tham số t ứng với giao điểm H của (α) và Δ ta giải phương trình sau:

2(1 + 2t)-(-1 – t) + 2.2t + 6 = 0 <=> 9t + 9 = 0<=>t = -1.

 Như vậy ta có toạ độ điểm H là:

 

Vì A’ là điểm đối xứng của A qua Δ nên:

= 2 nên ta có hệ sau: