Hướng dẫn giải bài 10 trang 81 sách giáo khoa Hình học 12

Bài 10 trang 81 sách giáo khoa Hình học 12.

Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.

a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Hướng dẫn giải

Cách 1

Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian sao cho A trùng với gốc tọa độ O, AB là trục hoành, AD là trục tung còn AA’ là trục cao. Như vậy, ta có tọa độ các đỉnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là:

$A(0;0;0);B(1;0;0);D(0;1;0)\; ;$$B^{\prime }(1;0;1);D^{\prime }(0;1;1)\; vàC^{\prime }(1;1;1).$

a) Mặt phẳng $\left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$qua điểm và nhận vectơ $=[,]$  làm vectơ pháp tuyến. Ta có $=(1;0;1)$, $=(0;1;1)$ và  $=(-1;-1;1)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$ có dạng:  $x+y-z=0$           (1)

Tương tự, mặt phẳng $\left(B{C}^{\prime }D\right)$ qua điểm $B$B nhận vectơ $latex \overrightarrow{m} $=[,]$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $=(-1;1;0)$, $=(0;1;1)$và  $=(1;1;-1)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(B{C}^{\prime }D\right)$có dạng:   $x+y-z-1=0$.              (2)

So sánh hai phương trình (1) và (2), ta thấy hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song với nhau.

Cách 2: (không dùng phương pháp toạ độ)

Xét hai mặt phẳng (AB’D’) và (B(TD), ta có:

B’D’ // BD, AD’ // BC’ vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương.

Do đó mặt phẳng (AB’D’) có hai đường thẳng cắt nhau B’D’ và AD’ lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau BD và BC’ của mặt phẳng (BC’D). Vì vậy (ABDO // (BC’Đ).

Vì (AB’D’) // (BC’D) nên khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BC’D) chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng. Ta có: