Hướng dẫn giải bài 1 trang 80 sách giáo khoa Hình học 12.

c) Đi qua ba điểm A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0) và C(0 ; 0 ; -1).

Hướng dẫn giải

Để viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x₀; y₀;z₀) và nhận = (A; B; C) làm vectơ chỉ phương, ta sử dụng công thức:

A(x – x_o) + B(y – y_o) + C(z – z_o) = 0.

Trong bài này, với M(1 ; -2; 4) thì x_o = 1; y_o = -2; z_o = 4; với  = (2; 3; 5) thì A = 2, B = 3, C = 5. Ta có phương trình của mặt phẳng cần tìm là:

2(x -1) + 3(y – (-2)) + 5(z – 4) = 0

<=> 2x – 2 + 3y + 6 + 5z – 20 = 0

<=> 2x + 3y + 5z-16 = 0.

b) Gọi mặt phẳng cần tìm là (P).

Đầu tiên, ta cần tìm một vectơ pháp tuyến của (P). Theo giả thiết, vì (P) song song với giá của hai vectơ  và  nên rõ ràng là vectơ pháp tuyến  của (P) phải vuông góc với cả  và : ⊥ và ⊥ .

Nếu gọi = (u1; u₂; u₃),  = (v1; v₂; v₃) thì ta có:

= (u₂v₃ — u₃v₂; u₃v1, -u1v₃; u₂v₂ -u₂v1)

Theo giả thiết ta có: u1 = 3; u₂ = 2; u₃ = 1

v1 = -3; v₂ = 0; v₃ = 1

Như vậy ta có = (2; – 6; 6).

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0; —1; 2) và có vectơ pháp tuyến  = (2;  -6; 6) nên có phương trình là:

2(x – 0) – 6(y – (-1)) + 6(z – 2) = 0

<=> 2x – 6y – 6 + 6z – 12 = 0

<=> 2x – 6y + 6z – 18 = 0.

Chia cả hai vế của phương trình trên cho 2, ta được một phương trình ngắn gọn hơn: (P): x – 3y + 3z – 9 = 0.

Đối với trường hợp mặt phẳng đi qua ba điểm A(-3; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; -1) ta thấy các điểm A, B, cC chính là giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ Ox, Oy, Oz nên ta áp dụng công thức cho phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn và được phương trình:

bài 1 trang 80 sách giáo khoa Hình học 12.

Quy đồng mẫu để đưa về phương trình:

2x + 3y + 6z = -6 <=> 2x + 3y + 6z + 6 = 0.