Tổng và hiệu của hai vectơ – Sách bài tập toán 10 – Bài tập Hình học

Tổng và hiệu của hai vectơ

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa tổng của hai vectơ và quy tắc tìm tổng

• Cho hai vectơ tuỳ ý và . Lấy điểm A tuỳ ý, dựng = , = .

Khi đó + = (h.1.7).

• Với ba điểm M,N và P tuỳ ý ta luôn có :

 +  =  (quy tắc ba điểm)

• Tứ giác ABCD là hình bình hành, ta có (h. 1.8) :

 + =  (quy tắc hình bình hành).

2. Định nghĩa vectơ đối

• Vectơ là vectơ đối của vectơ nếu || = || và , ) là hai vectơ ngược hướng. Kí hiệu = –.
• Nếu là vectơ đối của thì là vectơ đối của hay -(- ) = 
• Mỗi vectơ đều có vectơ đối. Vectơ đối của là Vectơ đối của là .

3. Định nghĩa hiệu của hai vectơ và quy tắc tìm hiệu

• – = + (-) ;
• Ta có : – = vói ba điểm O, A, B bất kì (quy tắc trừ).

4. Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ , , bất kì ta có

• + = + . (tính chất giao hoán);
• ( + ) + = + ( + ) (tính chất kết hợp);
• + = + = (tính chất của vectơ – không);
• + (-) = – + = 

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ

1. Phương pháp

Dùng đinh nghĩa tổng của hai vectơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và các tính chất của tổng các vectơ.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.

a) Tìm tổng của hai vectơ và ; và ; và ,

b) Chứng minh + = + .

Giải

a) Vì  =  ta có

+  =  + 

Vì  = , ta có  +  =  +  =  +  = 

Vì = , ta có + = + = , với E là đỉnh của hình bình hành AMED.

b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có + = 

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên + =

Vậy + = + .

Ví dụ 2. Cho lục giác đều ABCDEF  tâm O.

Chứng minh + + +  + + = .

GIẢI

 

Tâm O của lục giác đều là tâm đối xứng của lục giác (h.1.10).

Ta có + = , + = ,

+  = 

Do đó:

+  +  +  +  + 

= ( + ) + ( + ) + ( + ) = .

Ví dụ 3. Cho , là các vectơ khác và ≠ . Chứng minh các khẳng định sau :

a) Nếu và cùng phương thì + cùng phương với ;

b) Nếu và cùng hướng thì + cùng hướng với 

GIẢI

Giả sử = ,  = , + = .

a) Nếu và cùng phương thì ba điểm A, B, c cùng thuộc một đường thẳng. Hai vectơ + = và = có cùng giá, vậy chúng cùng phương.

b) Nếu và cùng hướng, thì ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường thẳng và B, C nằm về một phía của Vậy + = và = cùng hướng.

Ví dụ 4. Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O.

a) Chứng minh rằng hai vectơ  +  và  +  đề cùng phương với .

b) Chứng minh hai vectơ  và  cùng phương.

GIẢI

a) Gọi d là đường thẳng chứa OD thì d là một trục đối xứng của ngũ giác đều. Ta có  +  = , trong đó M là đỉnh của hình thoi OAMB và thuộc d. Cũng như vậy,  +  = , trong đó N thuộc d. Vậy  +  và  +  đều cùng với  vì chúng có chung giá trị d.

b)  và  cùng vuông góc với d nên AB // EC, suy ra  cùng phương .

Vấn đề 2

Tìm vectơ đối và hiệu hai vectơ

1. Phương pháp

• Theo định nghĩa, để tìm hiệu  – , ta làm hai bước sau:

– Tìm vectơ đối của ;

– Tính tổng  + (-).

• Vận dụng quy tác  –  =  với ba điểm O, A, B bất kì.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh -( + ) = – + (-).

Giải

a) Giả sử  = ,  = . Do đó  +  =  +  =  = .

b) Nếu I là trung điểm của đoạn AB thì IA = IB và hai vectơ ,  ngược hướng. Vậy  = –.

Ngược lại. nếu  = – thì IA = IB và hai vectơ ,  ngược hướng. Do đó A, I, B thẳng hàng. Vậy I là trung điểm của đoạn AB.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC.

a) Tìm hiệu  – ,  – ,  – ,  – .

b) Phân tích  theo hai vectơ  và .

Giải

(Xem hình h.1.12)

a)  – = ;

– =  – = 

(vì  = );

– =  + = 

(Vì – = );

– =  + = 

(Vì – = 

b)  = =  – .

Vấn đề 3.

Tính độ dài của  + ,  –

1. Phương pháp

Đầu tiên tính + = , – = . Sau đó tính độ dài các đoạn thẳng AB và CD bằng cách gắn nó vào các đa giác mà ta có thể tính được độ dài các cạnh của nó hoặc bằng các phương pháp tính trực tiếp khác.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD có = 60° và cạnh là a. Gọi o là giao điểm hai đường chéo. Tính | + |, | – |, | + . 

GIẢI

 

Vì tứ giác ABCD là hình thoi cạnh a và  = 60° nên AC = a, BD = a (h.1.13).

Ta có:  + =  nên

| + | = AC = a;

–  =  nên | – |  = CA = ;

–  =  –  =  (vì  = ).

Ví dụ 2. Chứng minh các khẳng định sau:

a) Nếu và cùng hướng thì | + | = || + ||.

b) Nếu và ngược hướng và || ≥ || thì | + | = || – ||.

c) | +| ≤ || +||. Khi nào xảy ra dấu đẳng thức ?

Giải

Giả sử  = ,  =  thì  +  = .

a) Nếu  và  cùng hướng thì ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường thẳng và B nằm giữa A và C. Do đó AB + BC = AC (h.1.14).

Vậy | + | = AC = BC – AB = || – ||.

b) Nếu  và  ngược hướng và || ≥ || thì ba điểm A, B, C cùng một đường thẳng và A nằm giữa B và C. Do đó AC = BC – AB (h.1.15)

Vậy | + | = AC = BC – AB = | – ||.

c) Từ các chứng minh trên suy ra rằng nếu  và  cùng phường thì | + | = || + || hoặc | + | < || + ||.

Xét trường hợp  và  không cùng phương. Khi đó A, B, C không thẳng hàng.

Trong tam gác ABC ta có hệ thức AC < AB + BC. Do đó | + | < || + ||.

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có | + | ≤ || + ||

Đẳng thức xảy ra khi  và  cùng hướng.

Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo.

Hãy tính | – |, | + |, | – |.

Giải

 

Ta có AC = BD = a.

| – | =  –  =  (h.1.16).

| + | = || + || = 2a

(vì  và  cùng hướng).

–  =  –  =  (vì  = ).

Do đó | – | = BD = a.

Vấn đề 4.

Chứng minh đẳng thức vectơ 

1. Phương pháp

Mỗi vế của một đẳng thức vectơ gồm các vectơ được nối với nhau bởi các phép toán vectơ. Ta dùng quy tắc tìm tổng, hiệu của hai vectơ, tìm vectơ đối để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc biến đổi cả hai vế của đẳng thức để được hai vế bằng nhau. Ta cũng có thể biến đổi đẳng thức vectơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức vectơ được công nhận là đúng.

2. Các ví dụ 

Ví dụ 1. Chứng minh các khẳng định sau:

a)  =  ⇔  +  =  +  (với  bất kì);

b)  +  =  ⇔  =  – .

Giải

a) Nếu  =  =  và  =  thì  +  = . Vậy  +  =  + .

Ngược lại, nếu  +  ta cần chứng minh  = . Giả sử  = ,  = ,   = .

Từ  +  =  +  suy ra = . Vậy  ≡ A hay  = .

Ví dụ 2. Cho sáu điểm A, B, C, D, E và F. Chứng minh rằng

+  +  = =  +                  (1)

GIẢI

Cách 2. Biến đổi vế trái:

Cách 3: Biến đổi vế phải:

• Sau đây là bài toán tương tự:

Cho bốn điểm A, B, C và D. Hãy chứng minh  +  =  +  theo ba cách như ví dụ trên.

Ví dụ 3. Cho năm điểm A, B, C, D và E. Chứng minh rằng

+  –  –  +  = 

Giải

Ta có  = ,  =  nên:

Ví dụ 4.  Cho tam giác ABC. Các điểm M, N và p lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC. Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có

+  +  =  +  + 

GIẢI

Biến đổi vế trái (h.1.17)

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1.8. Cho năm điểm A, B, C, D và E. Hãy xác định tổng   +  +  + .

⇒ Xem đáp án tại đây.

1.9. Cho bốn điểm A, B, C và D. Chứng minh  –  =  – .

⇒ Xem đáp án tại đây.

1.10. Cho hai vectơ và sao cho  + = .

a) Dựng  = ,  = . Chứng minh O là trung điểm của AB.

b) Dựng  = ,  = . Chứng minh O ≡ B.

⇒ Xem đáp án tại đây.

1.11. Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng  +  +  = .

⇒ Xem đáp án tại đây.

1.12. Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng:  +  +  +  = .

⇒ Xem đáp án tại đây.

1.13. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC;  BE cắt AM tại N. Chứng minh  và  là hai vectơ đối nhau.

⇒ Xem đáp án tại đây.

1.14. Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãi một trong các điều kiện sau:

⇒ Xem đáp án tại đây.

1.15. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu | + | = | – | thì tam giác ABC là tam giác vuông tại C.

⇒ Xem đáp án tại đây.

1.16. Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh  +  +  =  – .

⇒ Xem đáp án tại đây.

1.17. Ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Với điều nào thì vectơ  +  nằm trên đường phân giác của góc

⇒ Xem đáp án tại đây.

1.18. Cho hai lực  và  có điểm đặt O và tạo với góc 60º. Tìm cường độ tổng hợp lực của hai lực ấy biết rằng cường độ của hai lực  và  đều là 100N.

⇒ Xem đáp án tại đây.

1.19. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là một điểm bất kì trên đường chéo AC. Qua o kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt AB và DC lần lượt tại M và N, cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:

⇒ Xem đáp án tại đây.